この微分方程式を教えてください！

質問

dy/dx=y/x

初期条件 y(1)=2

回答No.1

kiha181-tubasa

基本的な問題ですので，くどい位に丁寧に説明します。

dy/dx=y/x
より
(1/y)(dy/dx)=1/x　（変数分離形の基本的な扱い方）
両辺をxで積分すると
∫(1/y)(dy/dx)dx=∫(1/x)dx
∫(1/y)dy=∫(1/x)dx　（置換積分）
log|y|+C=log|x|+D　（C,Dは定数）
log|y|=log|x|+D-C
D-C=logkとなる実数k(k>0)が存在するので
log|y|=log|x|+logk
log|y|=logk|x|
|y|=k|x|
y=k(±)x
y=±kx
±k=Mと書き換えて
y=Mx
x=1のときy=2であるという初期条件から
2=M*1
M=2

以上より
y=2x　……　答