関数方程式について質問です。

質問

関数方程式について質問です。

f(x) + g(x) = 2x-1
f(x) g(x) = x^2-x-2
f(0) = 1
g(0) = -2

のとき，f(x)，g(x)を求める場合，
第1式より g(x) = 2x-1-f(x)　として第2式に代入し，

f(x) (2x-1-f(x)) = x^2-x-2
{f(x)}^2 - (2x-1)f(x) + (x-2)(x+1) = 0
{f(x)-(x+1)} {f(x)-(x-2)} = 0
f(x) = x+1　または　x-2

とし，f(0) = 1より適するのは　f(x) = x+1　で，
g(x) = 2x-1-f(x) = x-2　(g(0) = -2をみたす)

としてもよいでしょうか？

回答No.4

Tacosan

#2 にも同趣旨のことをこっそり書いたんですけどね＞#3.
#3 が言っているのは
すべての x に対して「f(x) = x+1 かつ g(x) = x-2 であるか, または f(x) = x-2 かつ g(x) = x+1」
ということ. 一方, あなたが言っているのは
「すべての x に対して f(x) = x+1 かつ g(x) = x-2 である」か, または「すべての x に対して f(x) = x-2 かつ g(x) = x+1」
ということ. この 2つが異なることは理解できますか?
赤玉 1個と白玉 1個を使って, 同じことを言ってみましょうか. 2つの玉を, 右手と左手で 1個ずつ取ることを考えます (もちろん見てはいけません).
#3 で言っているのは
何度とっても「右手の玉が赤玉で左手の玉が白玉であるか, または右手の玉が白玉で左手の玉が赤玉」
あなたが言っているのは
「何度とっても右手の玉が赤玉で左手の玉が白玉である」か, または「何度とっても右手の玉が白玉で左手の玉が赤玉である」
この 2つは明らかに違いますよね?

補足

なるほど。失礼いたしました。
ご回答ありがとうございます。

「f(x) ， g(x) ともに整式である」
という条件をつけたら前述の回答でも正しいですかね？
理由はよくわかりませんが・・・。

回答No.3

alice_44

＞ f(0) = 1 より適するのは　f(x) = x+1　で
↑ ここがダウト。

その直前の行までで、各 x について
( f(x), g(x) ) = ( x+1, x-2 ) または ( x-2, x+1 )
であることは解っているが、

( f(0), g(0) ) = ( 1, -2 ) であることから判るのは、
x = 0 に対しては ( f(x), g(x) ) = ( x+1, x-2 )
であることだけで、他の x については、
( f(x), g(x) ) = ( x+1, x-2 ) なんだか、
( f(x), g(x) ) = ( x-2, x+1 ) なんだか、全く判らない。

条件不足で、f(x), g(x) は確定しない。

補足

( f(x), g(x) ) = ( x+1, x-2 ) または ( x-2, x+1 )

が恒等的になりたっているのであれば，
ある x に対しても成り立っているはずで，
x = 0 とした場合を考えて ( f(x), g(x) ) = ( x+1, x-2 ) を選んだのですが・・・。

間違っていますかね？

回答No.2

Tacosan

これって, 何か条件をつけないとまずいんじゃないかなぁ....
例えば
f(x) = if x ≧ 0 then (x+1) else (x-2)
g(x) = if x ≧ 0 then (x-2) else (x+1)
でも条件そのものは成り立ってしまう....
こんな変なものがないという前提でよければ, それでいいです.

回答No.1

FEX2053

で、答えはあってましたか？（合ってると思いますけど）

数学は答えが出るなら、解き方には原則として拘らない（原則と言うのは「解きかたが指示されている場合があるから」ですが）学問です。ですので、結果が出るならどうやっても構わないですよ。

でも、質問者さんの解き方は基本的な手順を踏んだ方法だと思いますけどね。