二次関数y=x^2-4x+a^2-3a+4（aは正の定数）…(1)がある。

質問

二次関数y=x^2-4x+a^2-3a+4（aは正の定数）…(1)がある。
0≦x≦aにおける関数(1)の最大値をM、最小値をmとする。M-m=1となるとき、aの値を求めよ。
この問題の考え方を教えて下さい。

回答No.1

nattocurry

y=x^2-4x+a^2-3a+4
=x^2-4x+4 +a^2-3a
=(x-2)^2 +a^2-3a

x=2のときに、yは最小値a^2-3aになります。

0≦x≦a で考えると、

この範囲にx=2（放物線の軸）が含まれる場合、つまりa>=2の場合は、最小値は、上述どおり、a^2-3aになります。
最大値は、a=4の場合は、x=0のときとx=a=4のときに、yは同じ値になり、最大値になります。（x=2が放物線の軸なので）
a<4(すなわち2<=a<4)の場合は、x=0のときに、最大値を取ります。
a>4の場合は、x=aのときに、最大値を取ります。

この範囲にx=2（放物線の軸）が含まれない場合、つまり、a<2の場合は、最大値はx=0のときで、最小値はx=aのときです。

あとは、それぞれの場合で、M-m=1 になる a を求めれば良いです。