二次関数

質問

関数ｙ=2x^2-12x+c(1≦x≦4)の最大値が５であるように、定数cの値を求めよ。また、そのときの最小値を求めよ。
という問題なんですが、教えてください。

回答No.3

kiriburi · ベストアンサー

y=2x^2-12x+c
y=2x^2-12x+18+(c-18)
y=2(x-3)^2+(c-18)と変形すると、x=3を軸とした下に凸の放物線になることが分かります。
1≦x≦4という条件があるので、x=1のとき最大となり、最大値はc-10
最大値が5という条件より
c-10=5
c=15
最小値はx=3のときy=c-18なのでy=15-18=-3

お礼

詳しい回答ありがとうございました。よくわかりました。

回答No.2

ONEONE

まず座標軸を書いてx=1,x=4に縦線をバーっとひいてグラフを書いてみてください。
そしたらどこが最大となるのかわかります。
ｘ^2の係数が正だから下に凸の関数で軸は平方完成してx=3とでます。
1≦x≦4でこの関数が最大となるのはx=1のときです。
そのときｙ＝５となるのだからこれを代入すればいい。

最小値は頂点が1≦x≦4の間にあるから頂点のｙ座標が最小値ですね。

お礼

ありがとうございます。わかりました！

回答No.1

gukky

関数ｙ=2x^2-12x+c はx^2の係数が正なので下に凸となる関数です。つまり最大値はx=1又はx=4のときのどちらかとなるので(両方ありうる)、後は求めるのは簡単でしょう。
下に凸となる関数の場合には、最小値は、yをxで微分したときにゼロとなるxを求めて式に代入すれば求められえます。

補足

ありがとうございます。すいませんが、微分ってなんですか？