3次関数y=x^3-2ax^2+a^2x (a>0)の0≦x≦1におけ

質問

3次関数y=x^3-2ax^2+a^2x (a>0)の0≦x≦1における最大値を求めたい。
まず、yはx=（ア）のときに極大値（イ）をとり、x=（ウ）のとき極小値（エ）をとり、さらに（ア）以外にy=（イ）となるようなxの値はｘ=（オ）である。
そこで、求める最大値をaの関数と考えてM(a)で表すと次のようになる。
a≧（カ）のとき M(a)=（キ）
（カ）＞a≧（ク）のとき M(a)=（ケ）
（ク）＞a＞0のとき M(a)=（コ）

という問題なんですが、（ア）～（オ）までは分かったんですが、
場合わけする部分がどうすれば解答にたどり着くか分かりません。
分かる方解説よろしくお願いします。

解答
（ア）a/3（イ）(4a^3)/27（ウ）a（エ）0（オ）4a/3
(カ)3(キ)a^2-2a+1(ク)3/4(ケ)(4a^3)/27(コ)a^2-2a+1

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

ｄｙ／ｄｘ＝３ｘ＾２－４ａｘ＋ａ＾２
　　　　　＝（３ｘ－ａ）（ｘ－ａ）
　　　　　＝０
とおくとｘ＝ａ／３、ａ
ですから、極大値はｘ＝ａ／３のとき、極小値はｘ＝ａのときですね。ここで、この関数のグラフを書いてみましょう。原点を通り、ｘ＞０の領域で極大および極小値を持ちます。
　問題になるのは０＜＝ｘ＜＝１の領域ですから、ｘ＝１の直線がこのグラフとどういう位置関係にあるかで最大値が変わってきますよね？
　例えばａ／３＞＝１であればｘ＝１の時が最大値、ａ／３＜１＜＝ａであればｘ＝ａ／３のときが最大値というように。
　グラフ中のいろいろな位置にｙ軸と平行な直線を書きこんで、どこが最大値になるか考えてみて下さい。