関数の連続性を示す問題です。

質問

関数の連続性を示す問題です。

問題は画像にupしておきました。

(1)≦の前と後でどのような変形をしたのですか。
(2)よっての前と後でどのような変形をしたのですか。

よろしくお願いします。

回答No.1

Anti-Giants · ベストアンサー

最後の極限は、cは任意だが「固定」されているから。

お礼

ありがとうございました(。・_・。)

回答No.3

alice_44

(1)
三角不等式 |A + B| ≦ |A| + |B| を使って、
|(nＣ1)(c^(n-1))h + … + (nＣn)h^n| ≦ |(nＣ1)(c^(n-1))h| + … + |(nＣn)h^n| とした後、
各項の絶対値を因子ごとに区切って、|(nＣk)・c^(n-k)・h^k| = (nＣk)・|c|^(n-k)・|h|^k。
更に、|h| ≦ 1 により、(nＣk)・|c|^(n-k)・|h|^k ≦ (nＣk)・|c|^(n-k)・|h|。
以上をまとめると、
|(nＣ1)(c^(n-1))h + … + (nＣn)h^n| ≦ (nＣ1)・|c|^(n-1)・|h| + … + (nＣn)・|h|。
共通因数 |h| を括り出して、今度は逆向きに二項定理を使えば、
(nＣ1)・|c|^(n-1)・|h| + … + (nＣn)・|h| = |h|・{ (nＣ1)・|c|^(n-1) + … + (nＣn) }
= |h|・{ (|c|+1)^n - |c|^n }。

(2)
{ (|c|+1)^n - |c|^n } は h の大きさに依らないので、ハサミウチの原理 :
0 ≦ |(nＣ1)(c^(n-1))h + … + (nＣn)h^n| ≦ |h|・{ (|c|+1)^n - |c|^n } より、
0 ≦ lim[h→0] |(nＣ1)(c^(n-1))h + … + (nＣn)h^n| ≦ 0・{ (|c|+1)^n - |c|^n }。

お礼

丁寧なご説明ありがとうございますヾ(・o・*)☆
助かりました(。・_・。)！

回答No.2

Anti-Giants

No1です。
修正があります。
二行目にかっこをつけ忘れていました。

お礼

わざわざありがとうございます。