等差×等比の和の問題です。誰か解いてください。

質問

等差×等比の和の問題です。誰か解いてください。

次の和Ｓを求めよ。
(1) S＝2+5・2+8・2^2+11・2^3+・・・・・+(3n-1)・2^(n-1)

(2) S＝1+5・3+9・3^2+13・3^3+・・・・・+(4n-3)・3^(n-1)

(3) S＝1+2/4+3/4^2+4/4^3+・・・・・+n/4^(n-1)

(4) S＝1+3/2+5/2^2+7/2^3+・・・・・+(2n-1)/2^(n-1)

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

いずれの問題も
Sn=Σ(k=1～n)(ak+b)p^(k-1)
で表される。
(1)ではp=2,
(3)ではp=1/4

Sn=Σ(k=1～n)(ak+b)p^(k-1)
=aΣ(k=1～n)kp^(k-1)+bΣ(k=1～n)p^(k-1)
前半は少し技巧的にやってみよう(こうやらなくてもできる）
Σ(k=1～n)kp^(k-1)=Σ(k=1～n)(dp^k/dp)=d/dp(Σ(k=1～n)p^k)
=d/dp(p^(n+1)-1)/(p-1)={p^n(pn-n-1)+1}/(p-1)^2
後半
Σ(k=1～n)p^(k-1)=(p^n-1)/(p-1)

QED

回答No.1

Tacosan

「全ての項が 1」というのは「公差 0 の等差数列」ですな.