複素関数のCOS^-1(i)の解法を教えてください。

質問

複素関数のCOS^-1(i)の解法を教えてください。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

i = cosθ となる θ を求めるのね。

オイラーの等式から導かれる関係式
cosθ = ( exp(iθ) + exp(-iθ) )/2
を使って、exp(iθ) についての二次方程式に
翻訳すれば ok.
解公式で解いてから、log する。

cos が周期関数であることから
解は複数あるが、その点は、
複素log の多価性で解決される。

お礼

お早い回答ありがとうございます。

回答No.2

Anti-Giants

No1.さんと異なる方法。
なるべく複素数的要素（多価関数）を使わない方法。

問題は「cos(z) = i を満たす zを求める」ことと同じ。

cos(z)
= [exp(iz) + exp(-iz)]/2
= [exp(-y)cos(x)+exp(y)cos(x)/2 + i[exp(-y)sin(x)-exp(y)sin(x)]/2

[exp(-y) + exp(y)]cos(x) = 0
[exp(-y) - exp(y)]sin(x) = 2.

exp(-y) + exp(y) > 0、より cos(x) = 0、つまり、x = π/2 + nπ。

sin(x) = sin(π/2 + nπ) = cos(nπ)sin(π/2) = (-1)^n。

exp(y) = t、とおくと
t^2 +2(-1)^nt -1 = 0.

0 < t、より
t = (-1)^n +- root{2} = (-1)^n + root{2}.
y = log(t) = log(root{2}+(-1)^n)

これでxとyが求まりました。

yについては、次のように変形するのが一般的です。

root{2} + (-1)^n=
nが偶数、root{2} + 1
nが奇数、root{2} - 1 = 1/{root{2} + 1}
だから
y = (-1)^nlog(root{2} +1).

お礼

ご回答ありがとうございます。