複素関数について

質問

sin(z),cos(z)の値域は複素平面全体でよいのでしょうか?また,それはなぜでしょうか?
よろしければ,簡単な証明を書いていただけるとありがたいです.よろしくおねがいします.

回答No.3

Rossana · ベストアンサー

＞その定義式からはどのように導けばよいのでしょう
＞か？
導くというか単純思考でいけばsin(z), cos(z)というのはexp(z)に複素数を掛けて単に足したものなので，sin(z)，cos(z)の値域はexp(z)の値域に起因します．ということでexp(z)の値域について考えればよいと思います．

お礼

exp(z)の値域ですか、なんか複雑に考え過ぎていたみたいです。再びの回答ありがとうございます。

回答No.2

Rossana

なぜかは#1さんのおっしゃられる定義式で考えて下さい。
実数の範囲では
－1≦sin(x)≦1
でしたが，
複素数の範囲ではそのようになりません。
例えば，z=iのとき
cos(i)={exp(-1)+exp(1)}/2
2<exp(1)<3,
1/3<exp(-1)<1/2ですから

7/3<exp(1)+exp(-1)<7/2
⇔7/6<{exp(1)+exp(-1)}/2<7/4
⇔7/6<cos(i)<7/4

ということで
　1 ＜ cos(i)
となることもあるのです。

お礼

ありがとうございます。＃１さんのおっしゃられる定義式からもう少し考えてみます。

回答No.1

scale--free

sin(z), cos(z)の定義式

sin(z) = ( exp(iz)-exp(-iz) )/2i,
cos(z) = ( exp(iz)+exp(-iz) )/2,

を使ってみて下さい。

お礼

ありがとうございます。その定義式からはどのように導けばよいのでしょうか？もう少し考えてみます。