ベクトル方程式軌跡、逆証明の意義

質問

ベクトル方程式を解いていると、しばしば「次の図形は以下のようなベクトル方程式であらわされることを示せ」とか「次の条件のとき点P(→p)の軌跡を求めよ」などという問題に出くわします。
そのようなときに、いつも逆もまた然りということを述べるか述べないかで迷います。それ以前に、逆証明をする意義というものをよく理解できていないので、諸所で調べまわってみましたが、やはりよく分かりません。同値変形という高等テクニックを使うと、逆証明が必要にならないと書いてあるサイトがあったのですが、何分理解しがたく、別々に証明した方が自分にはやりやすいと思いました。逆証明が必要な問題とそうでない問題の区別と、逆証明の意義をご教授下さい。

回答No.2

dephands · ベストアンサー

x=1ならばx^2=1
という意味で
x=1⇒x^2=1
と書くのはいいですよね。x^2=1は、x=±1ということなので、矢印の先の方が広い条件になっていますよね。と、いうわけで必要条件の方が広い範囲になっているんですよね。(「矢の先は必要」とかなんとか)

と、いうわけで、条件が与えられたときに、それをすべて必要十分条件で式変形(同値変形)できればいいんですが、必ずしもそうでないときは、答えが求めるべきものになっているかちゃんとチェックする必要があるってことです。

たとえば、複数の条件a、bを満たすcという命題がなりたつとき、
「aかつb」⇔c
をいわないといけないわけです。
軌跡を求めるときは、求める軌跡上の点(X,Y)は、次の条件を満たす必要がある、、、で、最後には、XとYの関係式という形で軌跡が決まります。はじめから必要条件で話をすすめるのでどうしても矢印の反対向きをチェックしないといけないわけです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
大変分かりやすい説明ありがとうございます。
必要条件で話を進める以上、十分条件の確認も必要なのですね。

回答No.1

dephands

よくわかりませんが、ちゃんと答えが必要十分条件になっていることを保障するためではないでしょうか。

これこれこういうときには、こうである必要がある、という必要条件だけでおっていくと、求めるべきものより広い範囲になりえますから、ちゃんとした答えになっていることを確かめるという意味があるかと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。
必要十分条件になっているということを確かめるというのはよく聞くのですが、必要条件だけだと広い範囲になりえるというのがよく分からないんです・・・