軌跡

質問

e,p > 0とするとき点F(p,0)と直線x = -pとの距離がe:1であるような点pの軌跡はどのような図形を描くのでしょうか？
(1)0<e<1のとき
(2)e = 1のとき
(3)e > 1のとき
で場合わけするみたいなのですが(1)と(3)のときがよくわかりません。

（２）のe = 1のときは
焦点がF(e,0)で準線がx = -eであるから放物線上の点PをP（ｘ,ｙ）とおけば
PF = √（（x-p）^2 + y^2）
PF = |x + e|
の二式より
y^2 = 4ex
となるので放物線？

あとふたつは楕円と双曲線になりそうなのですがうまく証明できないのですが・・・・。
どのようにすればいいのでしょうか？

回答No.2

Meowth

点F(p,0)と直線x = -pとの距離がe:1であるような点p(x,y)
点F(p,0)と点p(x,y)の距離L：L1の2乗
L1^2= (x-p)^2+y^2
直線x = -pと点p(x,y)の距離　L2
L2==x+p
L2^2=(x+p)^2
距離がe:1 L1:L2=e:1
L1=e×L2
L1^2=e^2×L2^2
(x-p)^2+y^2=e^2×(x+p)^2

回答No.1

Meowth

(x-p)^2+y^2=e^2(x+p)^2
を展開して、
(1-e^2)x^2-2p(1+e^2)x+y^2+(1-e^2)p^2=0
e=1のとき
4px=y^2
で放物線
e<>1のとき
(1-e^2)x^2-2p(1+e^2)x+y^2+(1-e^2)p^2=0
は
x^2-2p(1+e^2)/(1-e^2)x+y^2/(1-e^2)+p^2=0
{x-p(1+e^2)/(1-e^2)}^2+y^2/(1-e^2)=p(1+e^2)^2/(1-e^2)^2-p^2
であと１歩で標準形で
楕円と双曲線　　
e>1 双曲線
e<1 楕円
または定数項によって（その他）

補足

あの質問なんですが
(x-p)^2+y^2=e^2(x+p)^2
この式はどこからでたものでしょうか。