軌跡と領域

質問

軌跡と領域

軌跡
条件を満たす点Ｐの軌跡が図形のＦ上であることを示すには、次の２つのことを証明する。
１条件を満たす任意の点Ｐは、図形のＦ上にある。
２図形のＦ上の任意の点Ｐは、その条件を満たす。

教えてほしいところ
１番だけ証明すればいいような気がしてならないんですが、なぜ２番も証明する必要があるんでしょうか？？

論理的に教えて下さい

回答No.12

naniwacchi · ベストアンサー

#11です。

人間が古いので、ネタも古くなってしまって申し訳ないのですが。＾＾；

質問者さんの書かれていた「図形Ｆ」に関する記述は、教科書にきちっと書かれていますね。（数研出版の古い教科書にて）
そこには、補足するような形で以下のような記述もありました。
「２については、１の計算を逆にたどることによって、その成り立つことが明らかな場合、２の証明を省略することがある。」

軌跡に関しては、この内容に従うべきだと思います。
単に満たす式（方程式）だけでは、ほんとに軌跡となる図形ではないからです。
（通らない点まで含まれてしまう。）

また、軌跡と軌跡の方程式についてですが、
「大学への数学」（の古い本）において以下の記述がありました。
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軌跡と、軌跡の方程式
問題が「軌跡を求めよ」という要求なら、軌跡の限界を考慮しなければならないが、「軌跡の方程式を求めよ」という要求ならば、その必要はなく、必要条件によって、単に方程式を求めるだけでよい、というのが慣習である。
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「軌跡の限界」というのが、先の定義域・値域といっていた内容に当たりますね。

軌跡であっても、軌跡の方程式であっても、「軌跡の限界」は考慮した方がよいと思います。
（軌跡の方程式と書かれていて、軌跡の限界を考慮しても減点にはならないかと。）
設問にもよりますが、「図示せよ」となっていれば、必然的に軌跡の限界は考慮することになりますよね。

回答No.1

naniwacchi

おはようございます。

図形は点の集まりということから、
「条件を満たす点の集まり」＝「図形を表す式を満たす点の集まり」とならないといけない
と集合のように考えればいいと思います。

とはいっても軌跡の話なので、図形で話した方がいいですね。
添付に簡単な図を描いてみました。

左は図形Ｆの全体です。
右は実線の部分が点Ｐが満たしている部分だとします。
あくまでも「軌跡」となるのは、右の実線部分で合って、左の図形Ｆ全体にはなりませんよね。
簡単にはこういうことを言っています。

高校数学の範囲では、出てくる関数がたいてい連続なので大きな問題にはなりませんが、
（分母）＝ 0となるような点は除くといったことは、ちょくちょく出てくると思います。

答えはほぼ円全体でも、ある点だけを除くってことありますよね。
それを少し小難しく言うと、質問のようになるということです。