分からない問題があります。

質問

分からない問題があります。
高校数学です。

p,q,rを自然数とする。
方程式 4p^2+4pq-3q^2=r
を満たすrの最小値と二番目に小さい値を求めなさい。

お願いします(><)

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

#1です。

＞r=abからどういう考え方でaとｂの組を出すんですか？
#2さんの a, bをお借りして、考えてみます。

2p＝ b+ qより、bと qの偶奇は一致します。
これをもとの式に代入すると、
r＝ (4q+ b)b＝ b^2+ 4b* q

(i) qが奇数のとき（bも奇数）
b＝ 1のとき最小値をとる。（b＝ 3, 5, 7・・・の方が必ず大きくなる。）
q＝ 1ならば、p＝ 1, r＝ 5
q＝ 3ならば、p＝ 2, r＝ 13
（2番目までを求めればいいので、ここまで）

(ii) qが偶数のとき（bも偶数）
(i)のときと同様に、b＝ 2のとき最小値をとる。（b＝ 4, 6, 8・・・の方が必ず大きくなる。）
q＝ 2ならば、p＝ 2, r＝ 20
q＝ 4ならば、p＝ 3, r＝ 36

よって、rは小さい順に、5、13となる。

回答No.2

OKXavier

4p^2+4pq-3q^2=r
(2p+3q)(2p-q)=r

2p+3q=a　‥‥(1)
2p-q=b　‥‥(2)

とおくと、r=ab

(1)-(2)から
4q=a-b　‥‥(3)

a-b≧4>0　なので、a>b　‥‥(4)
また、(2)から、2p=q+b　なので、b,qは偶奇が一致する。。

r=ab　の小さい順に、
(a,b)=(5,1),(9,1),(6,2),(13,1),(10,2),...

(a,b)=(5,1)から、p=q=1
(a,b)=(9,1)から、q=2　bと偶奇が一致しないから不適。
(a,b)=(6,2)から、q=1　bと偶奇が一致しないから不適。
(a,b)=(13,1)から、p=2,　q=3

したがって、最小のrは、r=5,　二番目は、r=13

補足

r=ab
からどういう考え方でaとｂの組を出すんですか？

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。

(左辺)は因数分解ができますね。
まずは、そこから考えてみてはどうでしょうか？

その後、qが奇数、偶数の場合分けで考えていくと、攻められると思います。＾＾