数学Iの知識を使う問題のようです

質問

塾で出た問題です。
始めて見る問題で、新高一の自分には難しすぎます・・・
この問題の類題のテストを近いうちに実施するようなので、できれば早いお答えをお願いします。

（問題）
完全数Nと素数p,qがある（但しp≠qである）
尚、完全数Nとは、Nを除くNの約数の和がNと等しい数の事である
ex）6の6を除く約数の和は1＋2＋3＝6
よって、6は完全数と言える

(1）N＝pqの形をとれるNを全て求めろ
(２)Ｎ＝p^qの形をとれるNを全て求めろ（p^はpの二乗です）

僕は、「N＝pqなら1＋p＋q＝pqなので、pq－p－q－1＝0の形にして因数分解しよう。」と考えたのですが、p(q－1）－(q＋1）＝0の形にしかならず、そこで手づまってしまいました。
(2）も同様に行き詰りました。

やはり、因数分解はしないのでしょうか・・・？

因みに、完全数の知識があれば数学Iまでで習う知識で解けるようです。

答えだけでなく、考え方、途中式等もお願いします。

回答No.4

momordica · ベストアンサー

(1)の方はもうよさそうなので(2)の方だけ。意外とシンプルに解けます。

(p^2)qの約数の和は
　1+p+p^2+q+pq+(p^2)q=(1+q)(1+p+p^2)
このうち(p^2)qを除いた和が(p^2)qになるので、
　(1+q)(1+p+p^2)-(p^2)q=(p^2)q
　∴　(1+q)(1+p+p^2)=2(p^2)q　　…(A)
よって、(1+p+p^2)は2(p^2)qの約数ということになりますが、pの値に
かかわらず奇数であり、かつ、pとは互いに素であり、１でもないので、
　1+p+p^2=q　　…(B)
よって、(A)、(B)より
　1+q=2p^2
　∴　q=2p^2-1　　…(C)
これを(B)に代入して
　1+p+p^2=2p-2^1
　∴　p^2-p-2=0
　∴　(p-2)(p+1)=0
　∴　p=2, -1
pは素数であることより
　p=2
(C)に代入して
　q=7
よって、
　N=(2^2)*7=28

回答No.3

windwald

興味を持って解きはじめたらこんな時間に……

(2)は一筋縄ではいきませんね。
因数分解式＝○
の形にするのは間違いなかったのですが、○に入れるものがくせ者でした
A4紙3枚みっちりとやったのでヒントだけ

N=qp^2の約数は1,p……中略
で、自身を除いた数の和が1+p+……＝N
これを変形して
(1+p)(1+q)+……＝○
さらに変形すると
……＝2p^2

回答の指針にご利用ください

回答No.2

windwald

お礼より
＞となると、（p,q）の組合せは（2,3）あたりでしょうか・・・？
その根拠にももう少し触れておいた方がよいですね。

(2)N=p^qだったらpのq乗では？
ひょっとするとqp^2と書きたかったですか？

(1)とやり方は同じです。
N=qp^2の全ての約数を書き出し、N自身を除く約数の和とNが等しくなるという条件式です。
で、因数分解式＝簡単な自然数
という式ができ、
右辺の約数の条件から求めていきます。

お礼

でも確かに（2）はpの二乗×qでした
ということはp^2qと書くべきでしたね・・・

でもこれと同じ方針で解けそうな気がしてきました！

ありがとうございます

回答No.1

gohtraw

（１）きれいに因数分解できなくても、
　ｐｑ－ｐ－ｑ－１＝０　より　（ｐ－１）（ｑ－１）＝２　
とすればｐ－１、ｑ－１はいずれも整数なので候補は絞れるのではないでしょうか。

お礼

アドバイスありがとうございます。

となると、（p,q）の組合せは（2,3）あたりでしょうか・・・？