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二直線の交点を通る直線についての公式について
数学2の図形と方程式について教えてください。 写真の矢印の部分が全く意味がわかりません。 2p-3q+4=0, p+2q-1=0から、(2p-3q+4)+(p+2q-1)=0は、成り立つのはわかります。 でもここにk(定数)とはならなくないでしょうか？ 2p-3q+4=0, p+2q-1=0で、両辺に同じ数を足せば(2p-3q+4)+(p+2q-1)=0が成り立ちます。しかし、kは不要ですよね？確実に1になると思いますので。 なぜ、kという文字があるのか詳しい方教えてください。
- chartsikisuki
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- maskoto
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画像の式だと、交点の座標が分数になって煩雑だから、単純化して x-y＝０…① x+y-2＝０…② とするよ この場合、①と②の交点は(1、１) ゆえに、①と②の交点を通る直線③は ③:y-1＝3(x-1)↔2(x-y)+(x+y-2)＝0 であるし また、交点(1、１)を通る別の直線③'は ③':y-1＝2(x-1)↔3(x-y)+(x+y-2)＝0 である 更に、①と②の交点を通る直線には ③":x＝1↔(x-y)+(x+y-2)＝0 なんていうのもあり この他にも①②の交点(1、1)を通る直線は無数に存在する そこで、①②の交点を通る無数の直線の群れは代表して K(x-y)+m(x+y-2)＝0…Ⅲ と書けるなと閃いた人があり これを定理としてまとめたわけです この定理に貴方が気づけたなら、このことは暗記する必要はない でも、気づけなかったのなら、この定理を理解して暗記するしかない (数学や科学なんてものは、先人が発見したものもは、さっさと暗記吸収して自分の血肉となし、暗記した定理を用いて、新たな定理などの発見をするのが理にかなっています そうしないで、先人が発見したことを、自力で発見し直そうなんていう学者ばかりになれば、科学、数学の発展はその速度が著しく落ちて、いつまでたっても人類は進歩しないことになってしまう) ちなみに、③はK＝2、m＝1のバージョン ③'③"は、それぞれK＝3、m＝1と K＝1、m＝1のバージョン で、K＝0、m≠0とすればⅢは直線②自身と言う事になり、K≠0、m＝0とすればⅢは直線①自身となるわけだが ②自身は省いてもいいなと言うときは m＝1に固定して 交点(1、1)を通る直線の群れは K(x-y)+(x+y-2)＝0…定理(公式) とするわけです (この方が文字が少なくて楽だから) ここまではよろしいですか？ よろしければ、続きを解説しま
- maskoto
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2p-3q+4=0…Ⅰ p+2q-1=0…Ⅱ で1×0 すなわち 0・(2p-3q+4=0)と言うのを用意して 2と足し合わせると これがK＝0のケースだよ ま、とにかく Ⅰ×K+Ⅱがどういう話しの脈絡で出て来たのか もう一度良く本文全体を読んでみることです 私はもう寝るからまた明日ね… (-_-)zzz
- maskoto
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補足 K＝1とは限らない 2p-3q+4=0…Ⅰ p+2q-1=0…Ⅱ とする なるほど、これらをたすなら K＝1 でもこれはあまりにも短絡的！ なぜなら、 Ⅰ×2より4p-6q+8＝０ と言う式を用意してあげたとき これと、Ⅱより (4p-6q+8)+(p+2q-1)＝０ とすることだってできる このときK＝2 この他にもⅠ×3と言う式を用意してあげれば K＝3となるし、 Kの候補は無数にあるわけです
- chie65536（@chie65535）
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＞しかし、kは不要ですよね？確実に1になると思いますので。 kは直線③の傾きを意味します。kを１だと限定する事は出来ません。 (2p-3q+4)=0の時、(2p-3q+4)に何を掛け算しても0になります。 つまり「(2p-3q+4)=0の時、kが何であっても、k(2p-3q+4)=0になる」ので、言い換えれば「kは何でもあり」です。１とは限りません。 ここで質問を変えます。 「原点を通る直線④の方程式を答えなさい」と言う問題があったとします。 ＞しかし、kは不要ですよね？確実に1になると思いますので。 これと同じ理屈で「kは要らない。kは確実に１になると思う」と考えて「直線④の方程式はy=x」と答えたら不正解です。 貴方の考え方は、原点はx=0、y=0なので「x=0、y=0だから、x+y=0。kは不要で確実にkは1だから、答えはy=xだ」と考えるのと同じです。 ですが、原点を通る直線は y=x y=2x y=1000000x y=0.000001x y=-x y=-2x y=-1000000x y=-0.000001x のどれも該当します。なので正解は「y=kx（kは定数）」が答えです。 この簡単な問題文の「原点」を「直線①と直線②の交点」に書き換えたのが、元の問題です。 こうやって単純化して考えれば、どこが間違っているか理解できる筈です。
お礼
kを片方の単項式にかける理由、k≠0でない理由、kが傾きを表す?傾きを表すのはxの係数ではないかと思います。
- maskoto
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２直線①と②の交点を通る直線群(または直線束)の方程式 すなわち、①と②の交点を必ず通る任意の直線の方程式は K(2x-3y+4)+(x+2y-1)＝０…A とテキストに載ってるはずです…要確認 何故このような公式で良いのか…簡単に確認すると以下のイ、ロ、ハによる (イ) 式AはKが幾つであろうと直線の方程式になっている→Aは直線であることはクリア (ロ) 2x-3y+4＝０ x+2y-1＝０ を同時に満たすような(x、y)は①と②の交点の座標であるから ①と②の交点の座標を代入すると K(2x-3y+4)+(x+2y-1)＝K・０+0＝０ となる →直線の方程式Aは①②の交点を通ることもクリア (ハ) Kの値が変わることにより、直線の傾きや切片などが変化する→式Aは、①②の交点を通る任意の方程式となっていることもクリア 画像は、 ２直線①と②の交点を通る直線群の公式 K(2x-3y+4)+(x+2y-1)＝０ が①②の交点を本当に通るの？と言う疑問に答えて、その確認を (x、y)＝(p、q)として行ったものです ですから、K＝1に限定されません 任意のKについて、公式を確認したことになります もし、K＝1に限定してしまい (2x-3y+4)+(x+2y-1)＝０…④ としてしまうと、 任意の 直線ではなくて 直線④だけに限定して①②の交点を通るか確認したことになってしまうのです
お礼
公式を証明するために等式変形をしますがk≠0とは限りません。
お礼