デュワーベンゼンの６つの上下に伸びたπ性の２ｐ軌道からなる非局在化した

質問

デュワーベンゼンの６つの上下に伸びたπ性の２ｐ軌道からなる非局在化したπ軌道のエネルギーを求める永年方程式を立てると（クーロン積分をα、重なり積分は０、共鳴積分をβ）
|αーE　　β　　 ０　 ０　　０　　β|
|β　　 αーE β　 ０　　β　　　０|
|０　　　 β αーE β　　０　　　０|　＝　０
|０　　　 ０　　 β　α－E　β　　０|
|０　　　 β　　 ０　　β　αーE　β|
|β　　　 ０　　 ０　　０　　β　　　αーE|

となりますよね。
この６行６列の行列式ってどうやってEについて解くんですか？

解答を見ると、E＝α＋ｘβとしたときのｘを
|x 　 1 1|　　|x 1 -1|
|1 x+1 1|×|1 x-1 1| ＝０
|1 　1 x|　　|-1 1 x|
をｘについてといて、その解をE＝α＋ｘβに代入したものが答えとなっていました。

上の式からどのようして下のｘの式を作ったのでしょうか？

また４行４列、５行５列の行列式になってもこのようなとき方はできるんでしょうか？？

回答No.1

101325

> 上の式からどのようして下のｘの式を作ったのでしょうか？

E＝α＋ｘβではなく、E＝α－ｘβと置けば
α－E＝ｘβ, β≠０より永年方程式が

｜ｘ　１　０　０　０　１｜
｜１　ｘ　１　０　１　０｜
｜０　１　ｘ　１　０　０｜　＝　０
｜０　０　１　ｘ　１　０｜
｜０　１　０　１　ｘ　１｜
｜１　０　０　０　１　ｘ｜

の形になります。これに参考URLの公式を使うと、質問文にあるｘの式が作れます。

E＝α＋ｘβと置いたときには
｜ｘ　-1　０　０　０　-1｜
｜-1　ｘ　-1　０　-1　０｜
｜０　-1　ｘ　-1　０　０｜　＝　０
｜０　０　-1　ｘ　-1　０｜
｜０　-1　０　-1　ｘ　-1｜
｜-1　０　０　０　-1　ｘ｜
から
｜ｘ　-1 　-1｜　｜ｘ　-1 　１｜
｜-1　x-1　-1｜×｜-1　x+1　-1｜　＝　０ ……(1)
｜-1　-1 　ｘ｜　｜１　-1 　ｘ｜
が作れます。今の場合はｘ＝λが解ならばｘ＝-λもまた解なので、式(1)を適当に変形すれば解答にある式にすることができます。しかし、式(1)をそのまま解けば答えがえられるのですから、そんな無意味な式変形をするとは思えないです。解答にある式は、E＝α－ｘβと置いて作った式でしょう。

> ４行４列、５行５列の行列式になってもこのようなとき方はできるんでしょうか？？

使った公式の形から分かるように、５行５列の行列式ではだめですね。
４行４列、６行６列の行列式でも、いつもできるとは限りません。シクロブタジエンやシクロヘキサトリエン（つまりベンゼン）ではできますけど、できない場合の方が多いです。

参考URL：

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1312042623