基準振動について質問です。

質問

基準振動について質問です。

ラグランジアン L=m(dx^2 + dy^2)/2 -mω^2(x^2 + y^2)/2 + maxy
と書ける時、運動方程式を求め、基準振動を求めよ。

という問題なのですが、解説を読んでも今一つわかりません。行列Anを置いて固有方程式を立てて云々、と書いてるのですが何をやっているのかさっぱりわかりません。

この問題のヒント、また基準振動の解放を教えてください。

回答No.2

yokkun831 · ベストアンサー

※補足について

Ω = √(ω^2 ± a)

a^2 → a のミス以外は，「お礼」に書かれた線で合っていると思います。

回答No.3

yokkun831

よく見たら，考え方はあっているのですが，何かおかしくなってますね。

Ω^2 = ω^2 - a　のとき，A = B
Ω^2 = ω^2 + a　のとき，A = -B

一般解

x = A1 sin√(ω^2 - a)・t + A2 sin√(ω^2 + a)・t
y = A1 sin√(ω^2 - a)・t - A2 sin√(ω^2 + a)・t

となると思います。

お礼

振幅も変わることを忘れてました。
a^2はミスです笑

やっとこの振動というものがわかった気がします。
何度もありがとうございました。

回答No.1

yokkun831

まず，規準（と書くのが正しいと思いますが）振動の意味を理解してください。

規準振動＝系の複数の座標変数が，等しい振動数と等しい位相をもって振動する状態

マニュアルに従わないで，とりあえず自力で解くことに執着してください。そうすることによってマニュアルの意味がしだいにわかってくるはずです。

xに対する運動方程式：x'' = -ω^2 x + a y
yに対する運動方程式：y'' = -ω^2 y + a x

等しい角振動数をΩ，初期位相をゼロとして，

x = A sin Ωt，y = B sin Ωt

とおいてみます。すると，AとBについて

(Ω^2 - ω^2) A + a B = 0
a A + (Ω^2 - ω^2) B = 0

という方程式が得られます。これをたとえばAについて解こうとすると，A，Bがゼロでない解をもつためには

(Ω^2 - ω^2)^2 - a^2 = 0

でなければならないことがわかります。この一連の手続きが，
>行列Anを置いて固有方程式を立てて云々
の意味にほかなりません。

Ω^2 = ω^2 ± a

という２つの関係を得ます。これをもとのA，Bの式に代入すると

A = ±B

を得ます。一般に自由度２の比較的簡単な連成振動系の規準振動は，両者が同じ方向に振動する場合と逆方向に振動する場合の２つになります。規準振動は自由度の数だけあり，したがって振動の一般解は，規準振動の重ねあわせになるのです。

問題の系とは異なりますが，類似の系「二重振子」の動画を参考として添付します。

【参考】http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/354.html

お礼

なんとなくわかりました。

Ω^2 - ω^2= ±a^2　の関係があったので

A=Bの時⇔Ω^2 - ω^2= a^2

x=Asin(Ωt)=Asin(√ω^2-a^2 ・t)
y=Asin(Ωt)=Asin(√ω^2-a^2 ・t)

A=-Bの時⇔Ω^2 - ω^2= -a^2

x=Asin(Ωt)=Asin(√ω^2-a^2 ・t)
y=-Asin(Ωt)=-Asin(√ω^2-a^2 ・t)

一般解：　x = Asin(√ω^2-a^2 ・t) + Asin(√ω^2-a^2 ・t)
y = Asin(√ω^2-a^2 ・t) - Asin(√ω^2-a^2 ・t)

となって上のようにはならないのですね。間違っていたら申し訳ありませんが再度ご指摘いただけたら助かります。

補足

お返事ありがとうございます。かなり丁寧ですごく分かりやすかったです。

最後に「基準振動の重ね合わせ」とありますが、一般解はどのように求めるのでしょうか？自分なりに考えたのですがなんかおかしいです。。。

A=Bの時
x=Asin(Ωt)
y=Asin(Ωt)

A=-Bの時
x=Asin(Ωt)
y=-Asin(Ωt)

一般解：　x = Asin(Ωt)+Asin(Ωt) =2Asin(Ωt)　
y = Asin(Ωt)-Asin(Ωt) =0　　

重ね合わせは両方の場合の線形結合であると考えるのは間違いでしょうか？