sinαsinβsinrの最大値を求めよ。

質問

sinαsinβsinrの最大値を求めよ。
ただし　α＋β＋r=π　0<α、β、r<π　とする。
この問題を図形的に解けないでしょうか。
rを消去して、αを固定して、βで微分する解法は理解できました。

回答No.3

nag0720 · ベストアンサー

＃１です。

sinαsinβsinr={sin(2α)＋sin(2β)＋sin(2r)}/4
の式変形は、三角関数の積和の公式を使えば、
sinαsinβsinr=-(1/4){sin(α+β+r)-sin(α+β-r)-sin(α-β+r)-sin(-α+β+r)}
となるので、
あとは、α+β+r=π、α+β-r=π-2r、α-β+r=π-2β、-α+β+r=π-2αを代入すれば求める式になります。

たしかに、「三辺の長さの和が最大になる三角形」の証明を厳密にしようとすると難しいですね。
図形的にということであれば、
２点を固定した場合、あとの１点は二等辺三角形の頂点となることを証明できれば、求める三角形は正三角形になるはずです。
二等辺三角形の頂点となることの証明は、２点を焦点とする楕円を考えればなんとかならないかなあ。
申し訳ない。私にも無理みたいでした。

回答No.4

mister_moonlight

凸関数なんか知らなくても、2変数問題として簡単にいく。。。。。我ながら、愚かだね　ｗ

4*sinαsinβsinr＝sin(2α)＋sin(2β)＋sin(2r)＝sin(2α)＋sin(2β)＋sin(2α＋2β)＝2*sin(α＋β)
*cos(α-β)＋sin2(α＋β)≦2*sin(α＋β)＋sin2(α＋β)　となる。

そこで、2*sin(α＋β)＋sin2(α＋β)の最大値を求めることになるが、2*sin(α＋β)＋sin2(α＋β)＝2*sin(α＋β)*｛1＋cos(α＋β)｝であるが、sin(α＋β)＞0、1＋cos(α＋β｝＞0から　2乗しても良いから、2乗したものの最大値を求めると最終的に　sinαsinβsinrの最大値は求められる。

続きは自分でやって。

回答No.2

mister_moonlight

図形を持ち出さなくても、計算で簡単に解ける。書き込みが面倒だから、方針だけ書いとく。

sinxは　0＜x＜π　で上に凸の凸関数だから　(sinα＋sinβ＋sinr)/3≧sin(α＋β＋γ)/3　　←　これが理解できなければ“凸関数”で検索するとよい。

つまり、(sinα＋sinβ＋sinr)≧3√3/2　　‥‥(1)　等号成立は？

又、相加平均・相乗平均から、sinα＋sinβ＋sinr≧3(3)√(sinαsinβsinr)　‥‥(2)　等号成立は？
以上、(1)と(2)から　sinαsinβsinr≦3√3/8　等号成立は？

回答No.1

nag0720

α＋β＋r=π　のとき、
sinαsinβsinr={sin(2α)＋sin(2β)＋sin(2r)}/4
であることから、

円の内接三角形で、三辺の長さの和が最大になるのはどんな三角形か。

と言い換えることができます。

補足

もしできれば、sinαsinβsinr={sin(2α)＋sin(2β)＋sin(2r)}/4
の式変形をおしえてもらえればとおもいます。
内接円の３辺の長さの和が最大になることは、
相加相乗より
sinα＋sinβ＋sinr>=3×（sinαsinβsinr）^(1/3)
から考えてみましたが、そんなに計算が楽にならないので、別の図形的
な解決法がないかとおもいました。