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連比問題の本質的な解法とは？
- 連比問題について本質的な解法を教えてください。
- 回答プロセスに疑問があります。
- 解説に出てくる最小公倍数や倍数の計算には何の意味があるのでしょうか？
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本質的に理解されていないように思います。本質的な説明をするとNo.2さんの回答となります。 一番最初に戻りますが、 Ａ：Ｂ＝７：４でした。ＡとＢの比が７：４だということです。 これは比率だけを表しています。 たとえばＲ：Ｓ＝１：２を考えると分かりやすいかもしれません。ＲはＳの半分です。割合を表しています。 これを式で書くと、 Ｒ＝(1/2)×Ｓです。 ＝１÷２×Ｓです。 式を変形すると Ｒ÷Ｓ＝１÷２となります。 Ｒ：Ｓ＝１：２は Ｒ÷Ｓ＝１÷２と書けました。 比率を表す「：」は「÷」に置き換えることが出来ました。 → 重要 さてＡ：Ｂ＝７：４ですから、 Ａ÷Ｂ＝７÷４と書けます。・・・(1) 同じようにＢ：Ｃ＝６：５は、 Ｂ÷Ｃ＝６÷５です。・・・(2) (2)をＢの式に変形してみましょう。 Ｂ＝（６÷５）×Ｃです。・・・(3) (3)を(1)に代入すると Ａ÷｛（６÷５）×Ｃ｝＝７÷４ Ａの式に変形して Ａ＝（７÷４）×｛（６÷５）×Ｃ｝ ＝｛（７×６）÷（４×５）｝×Ｃ ＝４２÷２０×Ｃ さらに変形して Ａ÷Ｃ＝４２÷２０ ＝２１÷１０ 先ほど「：」は「÷」に置き換えられましたが、逆も同じです。 つまりＡ：Ｃ＝２１：１０となりました。 このように比率の問題は割り算(分数)の問題として考えることも出来ます。 >>a:c＝21:10といえる理由がわかりません。あくまでも、21:12，12:10に過ぎなくて、21:10といえる理由がわかりません。 Ａ：Ｂ＝２１：１２なのですから、 Ａ÷Ｂ＝２１÷１２ Ａ＝２１÷１２×Ｂ つまり、ＡはＢの21/12倍です。 Ｂ：Ｃ＝６：５なのですから Ｂ÷Ｃ＝６÷５ Ｃ＝Ｂ÷（６÷５） ＝５÷６×Ｂ ＝１０÷１２×Ｂ つまり、ＣはＢの10/12倍です。 ＢはＢの１倍なのですから、ＢはＢの12/12倍です。 Ａ＝(21/12)×Ｂ Ｂ＝(12/12)×Ｂ Ｃ＝(10/12)×Ｂ ですね。 やはり比率はＡ：Ｂ：Ｃ＝21/12：12/12：10/12＝２１：１２：１０です。 分数を比較するときは分母をそろえますね。比率を考えるときも同じです。
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- hypnotize
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>>なんでＢ＝３にできるんですか？ Ａ：Ｂを考えるとき Ａをｎ倍にすれば、Ｂもｎ倍にすると割合が変わりません → 重要 Ａ：Ｂ＝７：４なので、Ｂ＝３ならＢ＝４×（３／４）です。つまりｎ＝３／４ということですね。 Ａも３／４倍すれば良いのでＡ＝７×（３／４）＝５．２５になります。 Ａ：Ｂ＝５．２５：３となります。（これはＡ：Ｂ＝７：４と同じことです。） 同様にＢ：Ｃを考えるとき Ｂをｍ倍にすれば、Ｃもｍ倍にすると割合が変わりません Ｂ：Ｃ＝６：５なので、Ｂ＝３ならＢ＝６×（３／６）です。つまりｍ＝３／６＝１／２ということになります。 Ｃも１／２倍すればよいのでＣ＝５×（１／２）＝２．５になります。 Ｂ：Ｃ＝３：２．５となります。（これはＢ：Ｃ＝６：５と同じことです。） 割合が変わらないという意味では、ｎもｍもどんな値でも良いのです。（整数比にはなりませんが・・・） 以上から、Ｂ＝３の場合で考えると Ａ：Ｂ：Ｃ＝５．２５：３：２．５となります。 しかしこれでは整数比になっていません。 そこでＡ＝５．２５を整数にするために４倍すると、２１になります。 Ａを４倍したので、ＢもＣも４倍します。Ｂ＝１２、Ｃ＝１０になりますね。 やはりＡ：Ｂ：Ｃ＝２１：１２：１０になりました。
- spring135
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質問者が本質的な議論を望むなら、このような算数的アプローチでなく、数学の観点から眺める事が適切と思います。リンクサイトの回答者も結局数学的背景があるから気楽に最小公倍数とかBは4だからとか説明を行っているにすぎません。Bha4だからというのは間違いです。 代数的に Ａ ： Ｂ ＝ ７ ： ４は A/7=B/4=p (1) Ｂ ： Ｃ ＝ ６ ： ５は B/6=C/5=q (2) と書き換えます。 (1)より A=7p, B=4p (2)より B=6q, C=5q A,B,Cを一つの文字（ｐまたはｑ）を用いて描けば完成です。 よって B=4ｐ＝6ｑより ｑ＝（2/3）ｐ C=5ｑ＝（10/3）ｐ A:B:C=7p:4p:(10/3)p ＝7：4：10/3 ＝21：12：10
- hypnotize
- ベストアンサー率33% (56/165)
リンク先はとても分かりやすく書いてあると思うのですが・・・。 リンクが間違えています。 http://www.e-kyozai.jp/cgi-bin/suguru/semi/sf3_2/kiso/s3_2_2.html まず Ａ：Ｂ＝７：４ ですが、これはＡとＢの割合が７：４ということを示しています（当たり前ですね）。 Ａ：Ｂが７：４なら、ＡもＢもどんな値でも良いです。たとえば Ａ＝７ なら Ｂ＝４ Ａ＝０．７ なら Ｂ＝０．４ Ａ＝３．５ なら Ｂ＝２ Ａをｎ倍にすれば、Ｂもｎ倍にすると割合が変わりません → 重要 次に Ｂ：Ｃ＝６：５ ですが、これも同じですね。割合が同じならＢもＣもどんな値でも良いです。 Ｂ＝６ なら Ｃ＝５ Ｂ＝３ なら Ｃ＝２．５ Ｂをｍ倍にすれば、Ｃもｍ倍にすると割合が変わりません。 次に Ａ：Ｂ：Ｃ について考えます。Ａ：ＢとＢ：Ｃ の「Ｂ」を同じ値にすれば、単純に求まりますね。 まず Ａ：Ｂ＝７：４ ですが、Ａ＝７、Ｂ＝４ と考えると単純です・・・(1) 次に Ｂ：Ｃ＝６：５ は、Ｂ＝６、Ｃ＝５ と考えると単純です・・・(2) (1)と(2)の「Ｂ」を同じ値にするには、Ｂ＝３ としても良いですが、なんとなくＡとＣはヘンな難しい値になりそうな気がしますね。 最小公倍数の Ｂ＝１２ にすると、(1)ではＢを３倍しています。(2)ではＢを４倍しています。 先ほど 『Ａをｎ倍にすれば、Ｂもｎ倍にすると割合が変わらない』ことを説明しました。 (1)では、元々 Ａ＝７ で Ｂ＝４ のところを、Ｂを３倍して１２にしたので、 Ａも3倍して、Ａ＝７×３＝２１ にすればＡとＢの割合は変わりません。 同じように(2)についても『Ｂをｍ倍にすれば、Ｃもｍ倍にすると割合が変わらない』のですから、 元々 Ｂ＝６ で Ｃ＝５ のところを、Ｂを２倍して１２にしたので、 Ｃも２倍して、Ｃ＝５×２＝１０ にすれば、ＢとＣの割合が変わりません。 従い Ａ：Ｂ：Ｃ＝２１：１２：１０ となります。 なぜ最小公倍数にするかといえば、たとえば Ｂ＝２４ にすると Ａ：Ｂ：Ｃ＝４２：２４：２０ となり、公約数２で割り切れて、 結局、２１：１２：１０ となります。 リンク先は上記のようなことを書いています。
補足
>(1)と(2)の「Ｂ」を同じ値にするには、Ｂ＝３ としても良いですが、なんとなくＡとＣはヘンな難しい値になりそうな気がしますね。 なんでB＝３にできるんですか？ 頭がこんがらがってるみたいです。すみません。
お礼
>>なんでＢ＝３にできるんですか？ この疑問は解消しました！ありがとうございます。 新たな疑問が生まれたので質問します。 (1)Bについて、何故共通の数字にそろえる必要があるんですか？（ここでは１２がそれにあたります） (2)21:12:10にするために、aについて7×3＝21，cについて5×2＝10の計算をして、 a:c＝21:10といえる理由がわかりません。（つまり、比として正当に成り立つ理由がわかりません）あくまでも、21:12，12:10に過ぎなくて、21:10といえる理由がわかりません。何故でしょうか？