ローレンツ変換について

質問

ローレンツ変換で現れる虚数の角度についての質問です。
多くの本でローレンツ変換はミンコフスキー空間内での虚数の角度の回転であると解釈できる、と書いてありますが、より一般にユークリッド空間の実数の角度の回転がミンコフスキー空間での虚数の角度の回転に対応する、というのは簡単な数学で示せるのでしょうか？

もう少し詳しく説明します（汗）

簡単のため、ｔ軸（時間軸）とｘ軸（空間軸）の張る2次元空間を考えます。またミンコフスキー空間での諸量に’をつけて区別します。

2次元ユークリッド空間（ｔ、ｘ）から2次元ミンコフスキー空間（ｔ’、ｘ’）への変換は、

ｘ　→　iｘ’

で行われます。

また両空間での角度を定義(２つのベクトルの内積とそれぞれの大きさを使う）に基づいて表すと、

cosθ=(c^2*t1*t2 + x1*x2)/√（c^2*t1^2 + x1^2)(c^2*t2^2 + x2^2)
cosθ'=(c^2*t1'*t2' - x1'*x2')/√（c^2*t1'^2 - x1'^2)(c^2*t2'^2 - x2'^2)

となります。これらの式から、θ’＝iθを導き出すことは簡単にできるのでしょうか？？

また私の考え方が間違っていましたら、ご指摘していただければ幸いです。

恐縮ですが解答をよろしくお願いします。

回答No.2

eatern27

ん～、何をやりたいのか分かってないだけなのかもしれませんが、
多分、やりたい事と実際にやってる事が違うのじゃないかなぁ。。。

ご質問のcosθ',cosθの定義から、θ'=iθであるかどうかを知るには、
t1などとt1'などとの関係が分かっている事が必要不可欠ですよね。

もしも、t1 = t1'　、　x1 = i x1'
のような関係を念頭に置いているのであれば、
cosθの定義に、上記の式を代入したのがcosθ'の定義である以上、
cosθ=cosθ'となります。従って、θ'=iθなる関係がないのも明らかでしょう。

ユークリッド空間における角度の定義を踏まえると、
ミンコフスキー空間においては、
>cosθ'=(c^2*t1'*t2' - x1'*x2')/√（c^2*t1'^2 - x1'^2)(c^2*t2'^2 - x2'^2)
のようにするのが"もっともらしい"ように感じるので、
このような定義を採用した時に、θ'が純虚数になっているのかどうか、が分かればいいのでしょうかね。

で、θ'が純虚数になっているかどうかを知りたければ、
cosθ'が1より大きい実数であるかどうかを見れば良いのですが、残念ながら一般にはそうはなっていないようです。

回答No.1

eatern27

やる事としては
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E5%A4%89%E6%8F%9B#.E6.95.B0.E5.BC.8F
の「2.数式」の章の中ほどにある、「また、パラメータ θ を用いて」以降の部分ですね。

補足

遅くなってしまいましたが、回答ありがとうございます。

双曲線関数で表すことができて、θ→iθと変換されると解釈できることは知っていまいた。

なので上の

cosθ＝～
cosθ’＝～

という式とローレンツ変換を用いればθとθ’の関係式が得られて、その同値変形でθ’＝iθの関係を導き出せると考えたのですが、計算が行き詰ってしまいました。

計算の方法、あるいは何か他の情報をご存知でしたら、教えていただけませんか？よろしくお願いします。