ｘｙ平面の最小値

質問

下記の式で表されるxy平面の最小値を求める解を教えてください。
z=(a22*y^2+a21*y+a20)*x^2+(a12*y^2+a11*y+a10)*x+(a02*y^2+a01*y+a00)
尚、条件によっては最小値がない場合もあると思いますが、ここでは下に凸の平面であることを前提としてよいです。
できれば、2次方程式の解のような式で表されると良いのですが。

回答No.5

0shiete

申し訳ありませんが、
ご質問の内容をもう少し、説明願えませんか？

(１)
z=(a22*y^2+a21*y+a20)*x^2+(a12*y^2+a11*y+a10)*x+(a02*y^2+a01*y+a00)
で表されるフィッティングカーブの最小値を
求めること

(２)
データをよく近似するように、
z=(a22*y^2+a21*y+a20)*x^2+(a12*y^2+a11*y+a10)*x+(a02*y^2+a01*y+a00)
の各係数を求めること

のどちらが質問者様の目的なのでしょうか？

(１)であればと思い、#3の回答（フィッティングカーブとして最小値を求めやすい関数を選ぶ）をさせていただいたのですが、#3で頂いた補足を拝見すると、(２)を目的とされているのかなと思いました。

(２）であれば、#3の補足でおっしゃっているように
フィッティングカーブを表す関数を
z=f(x,y)とすれば
データからの偏差平方和が最小となるように、つまり
Σ(z(i)-f((x(i),y(i)))^2→min
となるf(x,y)に含まれる係数を最適化すればよいです。

補足をお願い致します。

補足

補足が遅くなり申し訳ありません。
#見落としておりました。

質問の意図は(1)の最小値を求めることです。
(2)の係数を求めることは簡単にできました。

ただ、
>、#3の回答（フィッティングカーブとして最小値を求めやすい関数を選ぶ）
の場合、求めたい式と異なります。
つまりこの回答の式ではなく、もともとの質問の式での最小値を求めたいのです。

回答No.4

0shiete

何度もすみません。
#3の回答は少しズレていました。

データをフィッティングするときに
最小値が求めやすい関数にフィッティングするというのはどうでしょう？

たとえば、
z=(x-a)^2+(y-b)^2+c

これなら、すぐに最小値はc(x=a,y=b)と
わかります。

補足

>何度もすみません。
いえいえ、こちらこそよろしくお願いします。

>データをフィッティングするときに
>最小値が求めやすい関数にフィッティングする
>というのはどうでしょう？
ということではなくて、直接データを考えている関数にカーフフィッティングさせることができない(と思う)ので、代わりに2つの係数を変えて、考えている関数との偏差平方和を求め、その値が最小となる係数がカーブフィッティングできたときの係数とみなせるだろうということです。
実際、数値計算で確認してみると、必要な誤差以下となったので、このやり方でよいと思うのですが、誤差が最小となる係数を求めるのに時間がかかりすぎるのです。

以上、よろしくお願いします。

回答No.3

0shiete

補足拝見しました。

過去に私も同様のことを考えていましたので、
参考になればと思い、
下に貼らせていただきます。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=500792

回答No.2

0shiete

最小値であるための必要条件として
1階の微分がゼロである必要があります。

zをxで偏微分したもの、zをyで偏微分したもの、
を=0として、連立方程式を立てることができます。

これを解こうとすると、9次の方程式がでてくるので
解の公式のようなものは作成できないと思います。

数値的に解いてはだめなのでしょうか？

補足

xとyで偏微分して．．．というのはやってみましたが、途中で破綻しました。
実は、これはあるデータをある関数にカーブフィットさせようとしているのですが、最小二乗法は適用できないので2変数の関数として2つの変数を3水準で変化させて最初の式(xy平面の式)を求め、その結果からカーブフィットさせようと考えました。
ですから、数値的に解いていくことも可能なのですが、最小値を求めたいデータが非常に多いのです。
それでは時間がかかり過ぎるため、できれば１回で解が求められる方法がないかと思い、質問しました。
よろしくお願いします。

回答No.1

noname#24477

２次式の考え方でいくと
z=ax^2+bx+c
でａ，ｂ，ｃはｙについての２次式ということですね。
ａ＝＜０だと最小値はありませんからａ＞０としてよい、
という条件で考えよ、ということでしょうか。
a(x+b/2a)^2-(b^2-4ac)/4a
と変形したとき（　)^2を０にするｘが一番良いわけで
そうすると
-(b^2-4ac)/4a　を最小にすることを考えます。
（ここまでは普通の２次式と一緒）

（ｙの４次式）/（ｙの２次式）の形になって最小値が
有るにしても求めるのは簡単ではない、と思います。
＝ｔとおいて分母を払って実数解を持つ条件にしても
大変です。

何か別の方式で考えていくとあるでしょうか？