Γ(n+1/2)の計算

質問

Γ(n+1/2)＝(2n)!·√π/2^2n·n!の証明がわかりません

Γ(x + 1) = x Γ(x)を使って
√π/2^n × (2n－1)(2n－3)···3·1 までは解けましたが

＝√π/2^n ×　2n(2n － 1)(2n － 2)(2n － 3) · · · 2 · 1/2n(2n－2)···2
=答え　となるのがわかりません

できるだけ途中計算を省かずにお願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

ガウス積分 Γ(1/2) = √π も解ったんですね。

そこから先は、式の遊びみたいなもので、
やらなくても (n-1/2)(n-3/2)…(3/2)(1/2) = Π[k=1…n](k-1/2)
程度に書いて終わって構わないんでしょうが…

質問の式形ヘ持っていきたいのであれば、
分子分母に偶数の因子を補って (2n-1)(2n-3)…3・1 =
= (2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)…4・3・2・1/{(2n)(2n-2)…4・2}
= (2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)…4・3・2・1/{(2^n)・(n)(n-1)…2・1}
= {(2n)！}/{(2^n)・n！}
でしょうね。

お礼

ガウス関数とやらは問題の補足に
Γ(1/2) = √π　を利用しなさいとあっただけなので自分の力ではないです（笑）
おそらく式遊びの問題だったのでしょう。偶数因子をかける発想にはいけませんでした。

回答ありがとうございました

回答No.1

Tacosan

「階乗」って知ってますか?
2n-2 = 2(n-1) は理解できますか?