この問題のグラフが頭に浮かびません。

質問

この問題のグラフが頭に浮かびません。

次の多重積分を計算せよ。
∫∫∫_V x dx dy dz
V: |x|+|y|+|z| <= 1

という問題で、答えが
「x座標がxでyz平面に並行な平面によるVの切り口 |y|+|z| <= 1-|x| の面積は S(x) = 2(1-|x|)^2 で、
積分は∫[-1,1] x S(x) dx に等しく、被積分関数は奇。よって0。」となっています。

この問題のグラフが頭に浮かびません。
z = 1-|x|-|y|ならば、ピラミッドを45°傾けたような立体になりますよね？
y = 1-|x|ならば、そのピラミッドを横から見たような平面になりますよね？
2(1-|x|)^2 は(0,2)を頂点とする、とんがり帽子のような平面になりますよね？
私に分かるのはここまでです。

|x|+|y|+|z| <= 1 だと、一体どんな立体になるのか分かりません。
よって、「yz平面に並行な平面によるVの切り口」というのが想像できません。
ピラミッドを端から切り刻んでいく感じですか？？？
「x座標がxで」というのも分かりません。
もし、y=xなら傾きが45°になるじゃないですか。でもx=x？？？
この立体を想像できる方、言葉で説明するのは難しいでしょうが、どうかお助けください。
（MaximaやWolframでこの図が描けるといいですね…）

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>|x|+|y|+|z| <= 1 だと、一体どんな立体になるのか分かりません。
これば図のような一辺√3の正8面体の内部を表す立体になります。
この正8面体の各頂点原点の距離はすべて1になります。

お礼

大変、ありがとうございます！
やはり、私の想像を超えていました。
つまり、
(1,0,0)
(0,1,0)
(0,0,1)
(-1,0,0)
(0,-1,0)
(0,0,-1)
の6つの点を頂点に持つ正八角形(regular octahedron)なのですね。
これを見て初めて、
xを固定してyz平面の射影も
yを固定してxz平面の射影も
zを固定してxy平面の射影も
同じ正方形をしていることが分かりました。
百聞は一見にしかず、ですね。(^^ゞ

これからは問題を見て頭の中で
三次元の立体を描けるように頑張りたいと思います。
本当にありがとうございました！

回答No.1

aquatarku5

正八面体ですね。

http://wind.ap.teacup.com/skreduts/timg/middle_1209096193.png
を借用するとして、

x軸=OC方向、y軸=OD方向、z軸=OA方向。
OC=OD=OA=1

yz平面に平行な平面による切り口の一例は、
CA,CB,CD,CFの(1-x):x内分点同士を結んだ◇形状の正方形。

お礼

ありがとうございます。
既に回答なさっていたんですね
（OKWaveの中の人が回答を調べている、という旨の告知がついさっきまで出ていました）。
正八面体と分かってすっきりしました。
ありがとうございました！