第一象限で、ｘ軸ｙ軸に端がある長さ１の線分の軌跡の面積は？という問題で

質問

第一象限で、ｘ軸ｙ軸に端がある長さ１の線分の軌跡の面積は？という問題で、
その領域をＳとすると、原点、(0,1)、(1,0)の三角形に収まり、原点、(0,√2/2)、(√2/2,0)の三角形を含むので、1/4<S<1/2であることがわかります。
y=(-tanθ)x+sinθ と置き、θで偏微分し、
y'={-x/(cosθ)^2}+cosθとしてx=(cosθ)^3となるθの時、最大値を取り、
その際、y=(sinθ)^3だから、∫(0~π/2)(sinθ)^3dθと置くと、答えは、2/3となり、間違いでした。
続いて、∫(0~1)(sinθ)^3dx で計算すると、3/16で間違いだとわかります。
どこが、いけないのか教えてください。

回答No.1

Kules · ベストアンサー

どこがいけないのかはっきりはわからないのですが、
解答を見ているととりあえず
・何が最終的な変数？
・何が一時的な変数？
・何を何の式で表したい？
・何が条件？

辺りがごっちゃになっているような印象を受けます。

途中までの展開から察するに、
「０～１までのx座標それぞれに対してy座標の最大値を求め、そのy座標をxで積分してやると
答えが求まる」
ということがしたいのでしょうか？
そうすると、
・最終的な変数はx
・一時的な変数はθ
・yをxの式で表したい
・条件は「θを動かした時yが最大となる」

ということですね？
y=(-tanθ)x+sinθ とおくと、x=tの時のy座標は
y=(-tanθ)t+sinθ であり、θを動かした時y座標が最大となるのはいつかを調べます
(この段階ではθが変数)
y'={-t/(cosθ)^2}+cosθ=0となる「θ」を探せばいいので(なんでy'=0で最大なのかとかの
議論は割愛します)
(cosθ)^3=t
を満たすθを求めることとなります。すなわち
cosθ=t^(1/3)となるθをφとします。
(cosφ=t^(1/3)なので、φはtの関数です)
そうすると、その時のy座標は
y=(-tanφ)t+sinφ
となり、φがtの関数であることから
x=tの時のy座標の最大値をtの関数として表せたことになります。
つまり、求める面積は
∫(0~1)((-tanφ)t+sinφ)dt
となります。
ただし、φをtの関数の形で表わすのは面倒
(質問者様は高校生でしょうか？高校数学の範囲でするならば逆余弦関数acosとかCos-1とか
も使えないので面倒とか以前に不可能です)なので、
置換積分を行います。といっても
(cosφ)^3=tを用いて上の積分の式をφで記述してやるだけです。
(cosφ)^3=tの両辺をφで微分して整理すると、
dt=-3(cosφ)^2*sinφdφとなりますので、積分区間はt=0～1の時φ=π/2～0であることから
∫(0~1)((-tanφ)t+sinφ)dt=
∫(π/2～0)((-tanφ)*(cosφ)^3+sinφ)*(-3(cosφ)^2*sinφ)dφ
となります。
ものすごく次数の高い三角関数(といっても高々4次までですが)なので、
半角の定理や積和変換を駆使して次数を下げていけば
答えはもう目の前です。

長文失礼しました。参考になれば幸いです。