a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc - 2ca の因数分解

質問

根の公式をつかってaについて解いたら
(a - b - c - 2√bc) (a - b - c + 2√bc)
となりますが合ってますか？
もっときれい（？）な因数分解ありますか？
元が対称式なのに・・・

回答No.1

kotokototo · ベストアンサー

どこまで因数分解するのかのもよりますが、
有理係数で a, b, c の1次式にしたいということであれば
この式は因数分解できません。

> (a - b - c - 2√bc) (a - b - c + 2√bc)
この式自体は
　a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc - 2ca
とは同値になっていますが、普通はこのようには変形しません。

どうしても対称式まで持っていくということなら
a, b, c の 1/2 次に分解して
　(a - b - c - 2√bc) (a - b - c + 2√bc)
= {(√a)^2 - (√b + √c)^2} {(√a)^2 - (√b - √c)^2}
= (√a + √b + √c)(√a - √b - √c)(√a + √b - √c)(√a - √b + √c)
= -(√a + √b + √c)(-√a + √b + √c)(√a - √b + √c)(√a + √b - √c)
みたいな感じですかね。

お礼

回答、ありがとうございます。
この式は因数分解できないんですね。
a = A^2 とすれば、対称式まで持っていけるとのこと、ありがとうございます。
もやもやが晴れて、すっきりしました。