雨粒が完全に地面を濡らすまでの時間

質問

雨粒が完全に地面を濡らすまでの時間

雨の降り始めは、所々に地面が濡れ、いつのまにか地面全体が濡れていきます

この様子をモデル化して、
雨粒の1粒が地面を濡らす面積がｓ、形は円
雨粒は全て均一
雨粒が落ちる箇所は、完全にランダム
雨粒が落ちる頻度は、単位面積・単位時間あたりn個
とすると、
雨粒が完全に地面を濡らしきるまでの時間は、どのように表されるのでしょうか？

昔から疑問に思っていましたが、私の数学力では全然歯が立ちません

よろしくお願いします

回答No.15

tgb · ベストアンサー

ANo.6とANo.9の一致に関して新しく分かったことがあるのでコメントします。

　この問題に対する解法として一方は確率の問題として解く(確率解法)のに対し、他方は物理的なプロセスとして解いている(プロセス解法)のに結果としては一致したわけですが、何が共通するのか考えてみました。
　そこで目をつけたのが濡れない確率の値としての( 1-s/L)です。これは見方を変えると重なりがない場合(最初の一粒)の濡れていない部分の減少率でもあるわけです。これを手がかりとして、プロセス解法では最初から微分方程式を導くようにしていますが、比較のために１粒１粒による変化の計算に置き換えてみました。

　最初に濡れた部分がr0=0、濡れていない部分が1-r0=1として
i粒目が落ちてri-1　->　riになったとします。
i粒目が地面に落ちる時濡れていない部分と濡れた部分に落ちる割合の比を微分による場合と同じく面積比で振り分けると、濡れていない部分の変化は
　(1-r_i)=(1-r_(i-1))-(s/L)(1-r_(i-1))
　　　　　=(1-s/L)(1-r_(i-1))
従って(1-r_i)は等比数列となり
　(1-ri)=(1-r0)(1-s/L)^i
これから
　ri=1-(1-s/L)^i
となり、これは確率解法の
　c(t) = 1 - (1-s/L)^(nLt)
と一致します。

　つまり、濡れる確率と濡れる面積の割合を同一視して濡れない面積の割合の変化を追跡すれば確率の変化と面積の変化が等価となることを表しており、一致することは自然な帰結と言うことになります。

お礼

ご回答ありがとうございます

日常的な現象も、きちんと考察すると奥の深いものですね

想像以上にみなさまに考察していただき感謝感激です
（理解度はまだ不十分ですが）

もう少し締めないでおこうと思います

よろしくお願いします

回答No.4

noname#152421

#3です。

すみません、下の回答は間違いでした。無視してください。
100分の1の面積のものを68個落としても100個埋まるはずないから明らかに変ですね。

出直してきます。。。

回答No.3

noname#152421

> 雨粒が落ちる頻度は、単位面積・単位時間あたりn個

考えやすくするために、前提に少し変更を加えます。
考える地面の範囲をXとし、その面積を1とします。
単位時間に1粒ずつXのどこかを濡らしていくとします。

> 雨粒が落ちる箇所は、完全にランダム

これをどう解釈するかですが、任意のY⊂Xについて、雨粒の中心位置がYに属する確率をYの面積に等しいと考えることにします。

さて、k粒目（k時間後）に初めてXがすべて濡れる状態について考えます。
それはすなわち、Xの中の1点aについて、

・j粒目（j=1,2,...,k-1)ではaが濡れない
・k粒目でaが濡れる

と解釈して、j粒目（j=1,2,...,k-1)が落下する範囲は、その中心が中心a半径r（πr^2=s)の円板の外部に含まれ、k粒目の中心はその円板に含まれると考えます。

すると、k粒目（k時間後）に初めてXがすべて濡れる確率がp(0≦p≦1)以上になる条件は

1-(1-s)^(k+1)<p≦1-(1-s)^k

を満たすkを探すことに相当すると考えられます。
これを変形して、

(log(1-p))/(log(1-s))-1<k≦(log(1-p))/(log(1-s))

を満たすkが求める時間ということになります。

たとえば、

雨粒1粒がぬらす範囲が全体の100分の1で、50%以上の確率で全範囲が初めて濡れるのは68粒目。

雨粒1粒がぬらす範囲が全体の10000分の1で、50%以上の確率で全範囲が初めて濡れるのは6931粒目。

雨粒1粒がぬらす範囲が全体の100分の1で、90%以上の確率で全範囲が初めて濡れるのは229粒目。

雨粒1粒がぬらす範囲が全体の10000分の1で、90%以上の確率で全範囲が初めて濡れるのは23024粒目。

回答No.2

htms42

考え方について書いてみます。

地面を埋めていく形が円だということと円の中心の位置が任意だということがあると難しくなります。
少し変更します。

１ｍ×１ｍの正方形を１ｃｍ×１ｃｍの正方形に分けます。１００個の区画ができます。
ランダムにこの区画のどれかを選んでいくとします。全部濡れたというのは１００個の区画のすべてが選ばれたということです。ほしいのは「選ぶ回数は何回ぐらいであればいいのか」ということです。
こういう風に考えると「区画」を考える必要はないということが分かります。
１から１００までの数字を選ぶというのでも同じです。
１００という数字をはずしても考え方は同じだということにもなります。
さいころを振って１から６までの数字が出そろうまでには最低さいころを何回ぐらい振ればいいかというのでも同じです。これならやってみることもできます。同じ目が何回も出てくることが起こりますから６回以上であることは確実ですね。
確率の計算についての本を見ればこういうことについての説明と例題は見つかるのではないでしょうか。そうやって計算した値（期待値）とやってみた結果と付き合わせるというのも面白いだろうと思います。

ｅｘｃｅｌでも乱数を扱うことができるでしょうからやってみることができるでしょう。

さいころでやる場合でも乱数でやる場合でもゆらぎがあります。
期待値は確率的なものです。期待通りにいかない場合が起こります。そこで期待した通りにならない場合の起こる率をある値以下に小さくすることで「ほぼ確実に実現する」という数字を得ることができます。
１００個の数字の場合であれば１００個全部が出現していなくてもかまわない、９９個出てくれば１００個出たのと同じように扱うとすると合いやすくなるかもしれません。

雨の場合のイメージがあるので広い範囲（区画数の多い場合）でやってみたいというご希望があるかもしれません。そういう場合は完全に埋まるというのはなかなか実現しないということが起こってしまうかもしれません。
「全部濡れた」という「全部」に幅を持たすことが解決策だろうと思います。これは区画の数をある程度以上大きくしないというのと同じでしょう。

推測で書いていますので間違っているかもしれません。
確率に詳しい型の回答があるだろうと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます

少しだけわかった気がします

サイコロを振って、1～6の目が少なくとも1回は出揃う

これは、回数をどんなに増やしても、確率的には100％に限りなく近づくが、100％には達しない
・・・

回答No.1

Sinogi

そこまでモデル定義してるなら純粋に論理思考すれば良いだけじゃないですか?
単位を明確にすればわかりやすいですよね

雨粒の1粒が地面を濡らす面積がｓ(m^2)/個
雨粒が落ちる頻度は、単位面積・単位時間あたりn個/(m^2・秒）

単位面積・単位時間あたりに濡れる面積は ns（ｍ＾2）/（ｍ＾2・秒）

ね、後は簡単でしょ?

おまけ
雨粒の重なり率を　0＜ｒ＜1　として、重なり率を考慮したら
単位面積・単位時間あたりに濡れる面積は ns×（1-ｒ）　（ｍ＾2）/（ｍ＾2・秒）

お礼

ご回答ありがとうございます

雨粒がランダムに落ちる場合は、rの値をいくつにすればいいのかが要だと思いますが、全くわからない次第です