次の問題の回答が知りたいんです。

質問

次の問題の回答が知りたいんです。
極限を求めよ。
a_1=1 a_n+1=1+(1+a_n)^1/2

講義を欠席したので回答が分からなくて困ってます。よろしくお願いします。

回答No.4

kynum1

まず、数列{a_n}が収束するとして、その極限値をαとします。
(実際に収束するかどうかは別問題です。)
このとき、nが十分大きければ
　　a_(n+1) = a_n = α
と考えられるので、漸化式より
　　α = 1+ (1+ α)^(1/2)
これを解きます。
　　(α-1)^2 = 1+α かつ α-1≧0 かつ 1+α≧0
　　α(α-3) = 0 かつ α≧1
よって
　　α = 3
これより数列{a_n}の極限値は存在するとすれば 3です。
なお、ここで求めたαは
直線y = xと曲線y = 1+(1+x)^(1/2)
の交点のx座標となります。

あとは
　　lim | a_n - 3 |= 0
が示せれば
　　lim　a_n = 3
がいえます。
いま、与えられた漸化式より
　　| a_(n+1) - 3 | = | (1+ a_n)^(1/2) - 2 |
　　　　　　　　　　 = | { (1+ a_n)-4 }/{ (1+a_n)^(1/2) + 2 } |
　　　　　　　　　　 = [ 1/{ (1+ a_n)^(1/2) + 2 } ] | a_n - 3 |
a_1 = 1と数列の定め方から、a_n＞0 (n = 1,2,3,…) なので
　　(1+ a_n)^(1/2) + 2 ＞ 3
ゆえに
　　| a_(n+1) - 3 | ＜ (1/3)| a_n - 3 |
したがって
　　| a_n - 3 | ＜ (1/3)　　| a_(n-1) - 3 |
　　　　　　　　　＜ (1/3)^2 | a_(n-2) - 3 |
　　　　　　　　　＜ ・・・
　　　　　　　　　＜ (1/3)^(n-1) | a_1 - 3 |
　　　　　　　　　=　(1/3)^(n-1) *2
すなわち
　　　0＜| a_n - 3 |＜2*(1/3)^(n-1)
　0 ＜ 1/3 ＜ 1より、 lim { 2*(1/3)^(n-1) } = 0であるから
　　　lim | a_n - 3 | = 0
よって
　　　lim　a_n = 3　
となります。
つまり、数列{a_n}は収束して、極限値は3です。
(limの下のn→∞は省略しました)

回答No.3

alice_44

例によっていつもの問題点が。

x = 1 + √(1+x) に持ち込むためには、
lim{n→∞} a[n] が収束することを
別に言っておかなければ、論理の欠陥となる。

1 ≦ a[n] ＜ 3 が成り立つことを 数学的帰納法によって示しておき、
1 ≦ y ＜ 3 の範囲で 1 + √(1 + y) ＞ y であることを言えば、
a[n] が、上界 3 を持つ、単調増加列であることが言える。
上有界な単調増加列は収束する(ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理)
から、lim{n→∞} a[n] は収束する。

あとは、A No.2 の計算。

回答No.2

muturajcp

lim_{n→∞}an=x
lim_{n→∞}a{n+1}=x=1+(1+lim_{n→∞}a_n)^{1/2}=1+(1+x)^{1/2}
(x-1)^2=1+x
x^2-3x=0
x=0　または　x=3
a_1=1>0
a_n>0　ならば
a_{n+1}=1+√(1+a_n)>2
x=lim_{n→∞}an>2
lim_{n→∞}an=x=3

回答No.1

askaaska

同じ講義を受けた人に聞くのが分かりやすく早いわよ。
ここで聞いても表現方法に限界があるし。