縮小列の問題。

質問

「A(1)>0で、A(n+1)=1/{2+A(n)},n=1,2,3,...が縮小列であることを示して、その極限を求めよ」という問題です。この問題について、まず縮小列の証明がわかりません＞＜極限は、A(n)を求めてからですよね？？アドバイスお願いします＞＜

回答No.5

zk43 · ベストアンサー

極限値は存在すればα＝1/(2+α)より、√2-1と分かります。
A(n+1)-(√2-1)=1/{2+A(n)}-(√2-1)
={1-(√2-1)(2+A(n))}/{2+A(n)}
=(√2-1){√2+1-2-A(n)}/{2+A(n)}
=(√2-1){√2-1-A(n)}/{2+A(n)}
=(1-√2){A(n)-(√2-1)}/{2+A(n)}
より、
|A(n+1)-(√2-1)|=(√2-1)|A(n)-(√2-1)|/{2+A(n)}
ここで、A(n)>0なので、2+A(n)>2>1だから、
|A(n+1)-(√2-1)|<(√2-1)|A(n)-(√2-1)|
<(√2-1)^n|A(1)-(√2-1)|→0（n→∞）
よって、A(n)→√2-1（n→∞）

回答No.4

kabaokaba

あう・・・No.1です．
計算しなおしたら間違ってた orz
減少列じゃないですね
仮に A(1)=1 として，A(2)=1/3, A(3) = 3/7 増えてる(-_-;;

恥の上塗りを承知で，
へこんで計算しなおしましたが，
√2 - 1 の左右で振動しながら収束していきそうです．
A(n) > √2 - 1 とすると，
A(n+1) < √2 - 1 ，A(n)-A(n+2)>0
A(n) < √2 - 1 とすると，
A(n+1) > √2 - 1，A(n+2)-A(n)<0
これより
|A(n)-(√2 - 1)|は0に収束．

となると「縮小列」というのもおかしくないわけで
A(n),A(n+1)で構成される区間は確かに縮小列です．
何かの教科書の問題であるならば，
前提として何かが仮定されている可能性が大です．
＃例えば「漸化式が定める縮小列」なんて言葉の定義があったりして

ここまで計算して気がつきましたが
この漸化式，√2 - 1 の連分数展開を与えますね
となると・・・もしかしていつもの数値解析の文脈で
でてきた問題しょうかね

回答No.3

koko_u_

単調減少にはならんから、縮小列の意味がわかりません。

|A(n+1)-A(n)| が 0 に収束しても極限が存在することは言えないし、コーシー列のことなのかなぁ？

当然、√2 - 1 も極限が存在してこそです。

回答No.2

Mr_Holland

私の誤解でしたら申し訳ないのですが、「縮小列」というのは区間に対して言うもので、数そのものを言うのではないように思うのですが。
　与えられた漸化式で表される区間が決められていませんか？　（例えば、[A(n),A(n+1)] などように。）

　極限値は、特性方程式から、√２－１　と求められます。

http://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/Lebesgue.pdf　の44ページを参照してください。

補足

返信ありがとうございます。区間は決められていませんでした＞＜

回答No.1

kabaokaba

単純に A(n+1)-A(n)が負であることを示すだけです，
計算して分子を平方完成すれば
高校一年生くらいの議論です．

>極限は、A(n)を求めてからですよね
ちがいます．
一般項が分からなくても極限は出ます．
減少列で下に有界だから極限は存在．
極限をaとすれば，a>0 で
a=1/(2+a)を満たす