複素数列の収束をε‐Ｎ論法により証明する

質問

複素数列の収束をε‐Ｎ論法により証明する

下の画像の問題が分かりません。

｜ａｎ-ａ｜＜ε　に当てはめて左辺を変形していったのですが

途中から分からなくなりました。

分かる方教えて下さい。

回答No.1

Anti-Giants · ベストアンサー

z(n) → z ⇔ ∀ε > 0, ∃N = N(ε), ∀n > N, |z(n)-z| < ε

|z(1)n + ... + z(n)1 - n^2/2|/n^2
≦ |z(1)n + ... + z(N)(n-N+1)|/n^2　(#1)
+|(z(N+1)-z)(n-N) + ... + (z(n)-z)1|/n^2　(#2)
+|z(n-N) + ... + z1 - n^2/2|/n^2　(#3)

(#1) ≦ sup|z(n)|/n
(#2) ≦ ε(n-N)(n-N+1)/2n^2 ≦ ε
(#3) ≦ |z||-2nN + N^2 + n - N|/2n^2 ≦ 2N|z|/n

M=M(ε) を
N < M かつ sup|z(n)|/M < ε かつ 2N|z|/M < ε
となるようにとれるから

∀ε > 0, ∃M = M(ε), ∀n > M,
|(z(1)n + ... + z(n)1)/n^2 - z/2| < 3ε

最後をεにしたければ、最初のεをε/3に置き換えればいい。