ε-δ論法 数列a_nに条件はあるのか？

質問

数列の極限に関して
a_n=1/(n-3)+b → b・・・(1)となるが
私の使ってる本で、
a_n → bのとき
(a_1+a_2+a_3+・・・+a_n)/n → bとなることがε-δで証明されている
しかし(1)の時、a_3は定義できない。
よって矛盾する。
つまりa_nは有限な値じゃなくてはならないのか？
どうかよろしくお願いします。

回答No.2

koko_u_ · ベストアンサー

当然 b_n = (a_1+a_2+・・・+a_n)/n を定義するときに、すべての a_i が存在する必要があります。

一方で、a_n については n≠3なら数列が定義できているの極限を考えることができる。
a_3 = 0 とでも定義してしまえば、b_n も定義できて、極限は当然 b になる。

お礼

大変分かりやすい説明ありがとうございます。ペコリ。
大変恐縮ですが、ひとつ疑問が残るのですが、a_nがn=iで存在するが、有限じゃない値つまり無限だと矛盾してb_n→bを証明できない気がするのですが、a_nは有限な値で定義するで良いのでしょうか？
馬鹿な質問かもしれませんが、ご解答お待ちしています。
a_n=1/(n-3±0)+b
a_n=1/(n-3±Δ)+b

補足

満杯になったのか分かりませんが、質問できなくなったので、新しく質問作りましたのでそっちに解答お願いします。
a_n=1/(n-3±0)+b ±0は限りなく0
a_n=1/(n-3±Δ)+b　　±Δは限りなく0
でもn=3で定数つまり有限な値つまり動かない値となるので定義できるということでしょうか？この場合のa_3はある大きな(小さな)値を取る。それよりも大きな値もありえるので無限ではない。何故なら±0も定数だから。

回答No.4

koko_u_

>a_nがn=iで存在するが、有限じゃない値つまり無限だと矛盾して
>b_n→bを証明できない気がするのですが、a_nは有限な値で定義するで
>良いのでしょうか？

「a_nがn=iで存在するが、有限じゃない値」とはどういう状況を考えていますか？
a_n = 1/(n-3) + b
の数列は n = 3 で「有限でない値で定義されている」のではなく、「定義されていない」のです。

当然 b_n はすべての n に対して「定義されていない」ので何も証明することはできません。そこに矛盾はありません。

お礼

a_n=1/(n-3±0)+b
はn=3で定義できないのですね？±0は限りなく0という意味で付けたんですが。
お馬鹿な質問にもご解答していただいて、ありがとうございました。

補足

a_n=1/(n-3±0)+b

回答No.3

arrysthmia

＞ a_nがn=iで存在するが、有限じゃない値つまり無限だと矛盾して

a_n=1/(n-3)+b の場合、a_3 は「存在するが無限」なのではなく、
存在しないのです。「定義されていない」と言ったほうが正確かな？
定義されていない a_3 を用いて (a_1+a_2+a_3+・・・+a_n)/n を定義
することはできず、定義されていない数列の極限を考えることは無意味
だというだけです。

a_3 の値として「無限」を許容する立場で考察するためには、まず、
数列 a_n の値域を、「無限」という元を含む集合へ拡張しなくては
なりません。その際、実数とか、複素数とかで考えていた値域とは
異なる位相を持つ集合となってしまうので、その値域上での「収束」の
概念が、「無限」を添加する前とは違うものになるのです。

もとの証明が、新しい収束概念のもとで成立しなくても、驚くには
当たりません。同じ「収束」という言葉で、全く別のものを指している
訳ですから。

お礼

a_n=1/(n-3±0)+b
はn=3で定義できないのですね？±0は限りなく0という意味で付けたんですが。
お馬鹿な質問にもご解答していただいて、ありがとうございました。

補足

a_n=1/(n-3±0)+b

回答No.1

Tacosan

「n→∞ の極限」というのは要するに「n が非常に大きいとき」を考えればいいだけです. 言い替えると「n = 3 なんて小さいときは考えません」と宣言すれば終わり.

補足

すみませんが、質問と解答が食い違っています。引き続き解答をお待ちしています。