材料力学の分野で、ひずみから応力への変換式で、どのようにひずみを応力に

質問

材料力学の分野で、ひずみから応力への変換式で、どのようにひずみを応力について整理するかわかりません。いろいろ試行錯誤しましたが、うまくできません。また、どの参考書にも途中式が書いていません。お願いします。

εx ={σx-υ(σy+σz)}/E
εy={σy-υ(σz+σx)}/E
εz ={σz-υ(σx+σy)}/E

から、

σｘ＝
σｙ＝ 画像参照
σｚ＝

この場合、応力の部分は省略しています。途中式をお願いします。

回答No.1

drmuraberg · ベストアンサー

εx ={σx-υ(σy+σz)}/e
εy={σy-υ(σz+σx)}/e
εz ={σz-υ(σx+σy)}/e （１）

Ε=t(εx, εy, εz ), Σ=t(σx, σy, σz) の列ベクトルとすると(tは転置(列)の意)

eΕ=AΣ
Aは(1,- υ,- υ),( -υ,1,- υ),( -υ,- υ,1)をそれぞれ、第１，２，３行
とする3x3の行列。
従って
Σ=eA^(-1)・Ε、　　 A^(-1)　はＡの逆行列
Ａの逆行列を計算すると
A^(-1)は
Aの行列式detA=1-3υ^2-2υ^3で有るから。
(1+υ)/(1-3υ^2-2υ^3)を係数として
(1-υ,υ,υ),(υ,1-υ,υ),(υ,υ,1-υ)を行とする３ｘ３行列。

従って
σx=e(1+υ)/(1-3υ^2-2υ^3)・{(1-υ)σx + υσy + υσz}
σy= e(1+υ)/(1-3υ^2-2υ^3)・{υσx + (1-υ)σy + υσz}
σz= e(1+υ)/(1-3υ^2-2υ^3)・{υσx + υσy + (1-υ)σz}　　　　(2)

行列の計算に付いては下記ＵＲＬを参照してください。
http://kagennotuki.sakura.ne.jp/la/node7.html
わかり易いのですが、小行列式A’の(１,１)成分のｆはｈのミスです。
注意してください。
(2)の結果を検算して見てください。