歪みエネルギーについて

質問

多軸応力状態の歪みエネルギーUは、応力をσ、ひずみをε、剪断応力をτ、剪断ひずみをγとし、添え字は方向を表すとすると(τの添え字はその添え字方向に垂直な面に対する剪断応力を表す)、

U=(1/2)(σ[x]ε[x]+σ[y]ε[y]+σ[z]ε[z]+τ[x]γ[x]+τ[y]γ[y]+τ[z]γ[z])

ここで、縦弾性係数をE、横弾性係数をG、ポアソン比をνとすると

=(1/(2E)){(σ[x]^2+σ[y]^2+σ[z]^2)-2ν(σ[x]σ[y]+σ[y]σ[z]+σ[z]σ[x])}+(1/(2G))(τ[x]^2+τ[y]^2+τ[z]^2)

と、書かれているのですが、
-2ν(σ[x]σ[y]+σ[y]σ[z]+σ[z]σ[x])
の部分はどこから出てきたのでしょうか?

回答No.1

noname#99303 · ベストアンサー

ひずみと応力の関係を与えるHookの公式からです。
σ[x]＝2G(ε[x]+(νe/（1-2ν))
e=ε[x]+ε[y]+ε[z]
τ[xy]=Gγ[xy]
G=E/2(1+ν)

Uの式が根本的に間違っていますので教科書を見てよく内容を把握した上で正しく書き直してください。τやγは添え字が2つ(たとえばxy)つきます。

お礼

解答有り難うございます。
一般化フックの法則というものがあるんですねー

>Uの式が根本的に間違っていますので
式についてはあっているようですよ。
もしかしたら、(τ[x]γ[x]+τ[y]γ[y]+τ[z]γ[z])/2の剪断応力のエネルギーを無視し、主応力のみを見た式のことを言っているのでしょうか
>τやγは添え字が2つ(たとえばxy)つきます。
これは知っていましたが、書くのが面倒でしたので、一応「(τの添え字はその添え字方向に垂直な面に対する剪断応力を表す)
」って定義しておいたのです。まあ、右ネジの方向を正とするといった記述も必要だったかな・・・