無限級数 Σ １/4 cos 1/2 nπ

質問

解答説明がなくて困っています。解答は-1/17 です
∞
Σ 1/4^n cos1/2nπ　を求めよ。
n=1
です。Σのところの記入方法が解らなかったので、式を写真添付します。よろしくお願いします。

回答No.2

B-juggler · ベストアンサー

こんばんは

とりあえず、こういう問題でつまづいたら、

１から代入してみる！　というのが常套手段でね♪

４＾（－ｎ）×ｃｏｓ（１／２　ｎπ）　これだよね。

自然数で、ｎを無限まで飛ばすということだよね。

ｎ＝１；１／４×ｃｏｓ　（１／２　π）　＝０　（ｃｏｓのところが０ですね）

ｎ＝２；１／１６　×　ｃｏｓ　π　＝－１／１６

奇数のところはゼロになりますね。ｃｏｓが０ですから。

偶数のところで、ｃｏｓは＋１か－１かでしかでてこないね。

これだけ分かれば次にでてくるのは、　１／２５６　が出てくるのは見えるかな？

級数になっているのは分かると思いますよ。

奇数のところは、後から引いてもいいけどね。

落ち着いてゆっくりとこう。　ｍ（＿　＿）ｍ

　ちゃんとやったらでてきますから。大丈夫だよ

お礼

B-jugglerさま
丁寧に教えてくださり、ありがとうございました。解けました！！！
ほんとうにありがとうございました。

回答No.4

spring135

数学なんてのは答えが出なきゃだめ、答えを出すことのみに意味がある
という観点から答えを書きましょう
C=Σ(n=1→∞)1/4^n cos(nπ/2)　
ここで
S=Σ(n=1→∞)1/4^n sin(nπ/2)
とおく。
Z=C+iS(iは虚数単位)　を作るとオイラーの定理cosx+isinx=e^(ix)より
Z=Σ(n=1→∞)1/4^n e^(inπ/2)
=Σ(n=1→∞)( e^(iπ/2)/4)^n
これは項比がr=e^(iπ/2)/4=i/4の等比級数の和で項比の絶対値が1より小さく、絶対収束する。
級数の和は
Z=(n=1→∞)r(1-r^n)/(1-r)=r/(1-r)
=i/4/(1-i/4)=(-1/4+i)*4/17
ほしいのはこの実数部すなわち
-1/17

わかるかな。

回答No.3

naniwacchi

おはようございます。

見た目、悩んでしまうかもしれませんが、
ちょっと視点を変えるとそんなに難しくないことが見えてきます。

cos(nπ/2)の値だけを考えてみます。
#2さんも言われているように n= 1, 2, 3, 4, 5,・・・と代入してみましょう。
もっと直感的には、単位円を描いて考えてもよいと思います。

そうすれば、#1さんが言われている意味がわかると思いますよ。＾＾

お礼

naniwacchiさま
いつも解説ありがとうございます。naniwacchiさんのおっしゃるように代入してみて、理解できました。本当にありがとうございました。また、よろしくお願いします。

回答No.1

Tacosan

これ, ただの等比級数だよね.