θの方程式cos3θ=cosθ(0°<θ<180°)について

質問

高校生です。
問題を解いてて、θの方程式cos3θ=cosθ(0°<θ<180°)の解法についてわからないところがあったので質問したいと思います。
三倍角、和積の公式を使った解き方とは別に、
3θ<θ+360°に注意して、3θ=360°-θ
という解き方ができるようなんですが、何が起こってるのかがよくわかりません。
3θ=360°×n±θ（nは整数）とだけ説明されているのですが、どういうことなのでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

cosxとcosyの値が一致するのはどんな場合かを考えます。

(1) 角度が全く同じ時。
xとyが全く同じ角度なら、当然cosxとcosyは同じ値ですよね。
まずこれが基本です。

さらに角度の世界では、360°回転すると元に戻ります。
このことを考えるとx = y + 360°やx = y + 720°やx = y - 360°の時も
cosxとcosyの値が同じになるはずですよね。
ここからcosx = cosyとなるのはx = y + 360°× nの時だとわかります。

(2) 角度の正負だけが異なり、絶対値が同じ時。
cos(-θ) = cosθになるということは習ったと思います
(cosは単位円円周上のx座標なので、
同じx座標をとる角度なら、同じcos値になります。
よってcos(-θ) = cosθです)。
これより、x = -yの時もcosx = cosyが成り立つことになります。

先ほどと同様に、角度の世界では360°回転すると元に戻ります。
よってx = -y + 360°やx = -y + 720°、x = -y - 360°の時も
cosxとcosyの値が同じになるはずですよね。
ここからcosx = cosyとなるのはx = -y + 360°× nの時だとわかります。

(1), (2)よりx = ±y + 360° × nの時、
cosxとcosyは同じ値になります。

お礼

よく分かりましたー。
丁寧に回答していただきどうもありがとうございました。

回答No.2

info22_

単位円を用いて考えれば
0°<θ<180°
0°<3θ<540°
でcos3θ=cosθとなる所をピックアップすれば
θ+3θ=360°の場合だけ。
　∴θ=90°

[別解]
移項して
cos(3θ)-cosθ=0
cos(3θ)=cos(2θ+θ)=cos(2θ)cosθ-sin(2θ)sinθ
cosθ=cos(2θ-θ)=cos(2θ)cosθ+sin(2θ)sinθ
であるので
cos(3θ)-cosθ=-2sin(2θ)sinθ=0
0°<θ<180°なので sinθ≠0
sin(2θ)=0
0°<2θ<360°であることから
2θ=180°
θ=90°

お礼

単位円のイメージが大切ですね。
よく理解できました。
別解までどうもありがとうございましたー。