回転してできる体積
x=a,x=b(a<b),x軸,y=f(x)で囲まれる図形をx軸で回転してできる体積Vは
V=π∫(a→b){f(x)}^2 dx
で与えられる。
それの応用として、
(問)y=x+2,y=x^2で囲まれる図形を、y=x+2で回転してできる体積を求めよ.
という問題を考える。
注;ハート型の半分を回転させることに注意
軸が傾いていることと、半ハート型の回転により、分けて積分しなければいけないので、計算がいやらしい。
ところで、xy平面上に直線lがあり、lとある曲線で囲まれる閉領域Dがある.
このとき、Dをlを軸に回転してできる体積Vは
V=2π∬(D)d(P)dxdy
で求めてみたところ、どうやら答えが同じになる。
ここでd(P)とは
xy平面上の点P(x,y)に対して
d(P):=直線lと点Pとの距離
これを使うと、この問題の計算が格段に楽になる。
ただ問題なのは、この公式は正しいのか?ということである。
だれか、この公式が正しい、または間違っていること分かる方、解答をお願いします。
(lがx軸に平行なときは一致することは自分で確かめてみました)