回転体の体積

質問

y=xとy=x^2で囲まれる図形をy=xの周りに回転させてできる体積を一次変換で解く解き方をどなたか教えてください。

いちおう私は
(1)(x,y)座標系を-π/4回転させて新しい座標系(X,Y)にする。
(2)π∫_0^√2 Y^2 dX を計算する。
という方針で計算したのですがうまくいかなかったので、
正しい方針と具体的な計算を教えてください。

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

複雑な計算が必要ですが、高校数学の範囲でできます。
以下に、その概要を書いておきます。
※別の質問でこの方法を書いたので、その責任も含めて書かせてもらいます。

(1) -45°の回転で、点(x, y)→点(X, Y)と移されるとします。
そして、y= x^2が満たされているとします。

(2) (1)は逆に見れば、+45°の回転で (X, Y)→(x, y)となります。
すると、x= (X- Y)/√2, y= (X+ Y)/√2となります。
これを y= x^2に代入します。

(3) 代入して整理すると、
Y^2- (2X+√2)Y+ X^2- √2* X= 0
2次方程式の解の公式を用いて、Y=・・・の形にします。
±の記号がありますが、負号の方をとります。

(4) 回転体の体積を計算するために、Y^2を計算します。
計算した結果は、
Y^2= X^2+ 3√2* X+ 1 - (√2* X+ 1)√(4√2* X+1)
（最後の項は、二重根号になっています）

(5) あとは、質問中でも書かれているように、πをかけて 0～√2の区間で積分します。

(6) 後ろの二重根号を含む項の積分は、√(4√2* X+1)= tとして置換積分をおこなえば計算できます。
途中、比較的大きな数がでてきたりしますが、最後はすっきりした数字になります。

大変な計算になりますね。＾＾；

お礼

非常に丁寧な回答ありがとうございます!!
計算は大変でしたがうまく計算できました!!

回答No.2

info22_

>という方針で計算したのですがうまくいかなかったので、
やった計算過程を書いていただかないうまくいかなかった原因が分かりませんので補足にお書きください。そしてどこがうまくいかないのかも書いて下さい。

(1)
y=x　→　Y=0
y=x^2 → X^2+Y^2-2XY-(X+Y)√2=0→Y=((√2)X+1-√(1+(4√2)X))/√2

(2)
π∫[0,√2] Y^2 dX=
(積分すると)
=π/(30√2)=(π√2)/60
が出てきます。

お礼

回答ありがとうございます!!
計算過程を書いていなくてすみませんでした。

まさに
X^2+Y^2-2XY-(X+Y)√2=0→Y=((√2)X+1-√(1+(4√2)X))/√2
という部分がわかりませんでした。解の公式でYを求めればよかったのですね。

回答No.1

aquatarku5

お考えの方針でおおむねよいと思います。

(1)により、
　・y=x　→　X=0
　・y=x^2　→　(X,Y)=√2/2・(x-x^2,x+x^2)

(2)により、
　　体積V=π∫[0～√2]X^2dY　　※←こうではないですか？
　　=π∫[0~1]X^2・(dY/dx)dx
　　=π∫[0~1](x-x^2)^2/2・(1+2x)√2/2dx
　　で求められませんか？

お礼

回答ありがとうございます!!
V=π∫[0～√2]X^2dY
だったのですね。うまく計算できました!