差圧から液面高さを求める方法

質問

お世話になります。

タンクの液面を検出する為に差圧計を設置しようとしています。
添付（A）の様なタンクであれば、液面とタンクの底の差圧をそれぞれｐ１、ｐ２とすれば、液面の高さはｈ＝(p2-p1)/(ρg)で計算できると思います。

しかし、今回私が使用するのは（B）の様な形をしているタンクです。
この場合差圧から液面高さを計算するにはどの様な式になるのでしょうか？？

添付画像ご確認の上、ご教示頂けませんでしょうか？

回答No.3

el156

No.1の補足にお答えします。
h=p/(ρg)は底面積で割って求められるのではなく、直接求められます。
タンクに入っているのは液体ですから、水平方向に力は働きません。もし働いてしまったとしたら、流れが生じて力が解消されるからです。水平方向は隣り合う液体の圧力が等しく力が平衡状態になっています。そして容器の壁面では壁面から反力を受けて平衡しています。それでは垂直方向はどうかというと、圧力は下に向かって少しずつ大きくなっていて、それが重力と平衡しています。即ち液体の圧力は重力と平衡している為に垂直方向にも流れることはありません。水平方向は隣同士圧力が平衡している訳ですから、圧力は任意の水平断面の単位面積あたりに加わる力で考えることができます。それが重力と平衡するのでp=ρghが直接的に求まります。底面積で割るわけではありません。
別の考え方として、単位体積あたりの圧縮エネルギーpが単位体積あたりの位置エネルギーρghと平衡している、と言うこともできます。私は本当は後者の考え方の方が本質的だと思いますが、前者の方が質問者さんの疑問に直接的に答えるのではないかと思います。
次に少し補足説明をします。もしタンク中の液体が液体ではなく剛体だったとしたら、容器を省略できます。その場合にはNo.1の補足にある質問者さんの考え方をすることができます。このとき、剛体の形状が円錐台で上に向かってに広がっていれば、広がっている分も底面の圧力に寄与します。しかしそれは容器を省略したからであって、容器がある場合は全ての力を容器の壁が受けると考える必要があります。斜めの壁も力を受けるはずです。
本題から少しずれてしまいますが、次に補足説明のさらに補足の説明をしておきます。剛体の場合でかつ形状が円錐台で容器がある場合についてもう少し深く考えます。この場合、仮に容器の斜面を取り去ってしまえば全ての力を底面が受けます。逆に容器の底面を取り去ってしまったとしたら、全ての力を斜面が受ける筈です。もっと極端に言えば、底面の中心一点だけで全ての力を受ける事も可能です。剛体は変形しませんから、何処で力を受けても良い訳で、逆に言えば、つきつめると「剛体」という仮定には少し無理があるということになると思います。

回答No.2

el156

円錐のタンクなら斜めになった壁も力の釣り合いに寄与しています。底面の場合と同じです。階段状のタンクを想定してみては如何でしょうか。以下の私の回答も参考になるかもしれません。
http://okwave.jp/qa/q6755807.html
私としても、もっと良い回答があるのではないかと思うので、もし数日以内にアイディアが見つかりましたら再度回答させていただきます。

回答No.1

el156

「添付画像」が真っ白で見えませんが、タンクの形に関わらず、圧力計を設置した液中の圧力とこれに連通する液面上部の気体圧力との差圧がpだったら、圧力計を設置した場所と液面との標高差hは、h=p/(ρg)で良いと思います。

補足

ご回答ありがとうございます。

>>圧力計を設置した場所と液面との標高差hは、h=p/(ρg)

という式がどの様に導かれたのか知りたいのですが。。

タンクが円柱の場合、上の式で液面高さｈを求める事が出来るというのは分かります。
しかし、例えばタンクの形が円錐（上面と底面でφが違う）といったケースでもなぜその式が成り立つのかが分からなくて困っています。

ちなみにタンクが円柱の場合、

底面の圧力P2と液面の圧力をP1、液面高さをｈ、底面積をAとすると、

力のつり合いが

　P1×A＋ρAｈg＝P2A

となるので、両辺Aで割って、

P1+ρAhg=P2

h=(P2-P1)/ρAg

この理解で良いのでしょうか？