三角錐の体積の求め方について教えてください

質問

三角錐の体積の求め方について教えてください

まず最初に、算数レベルの計算も涙目で必死にならないと解けないおばちゃんからの質問だという事を念頭に置いててください。

一辺の長さが５ミリの三角錐があるとして、その三角錐の体積を求めたいのですが、

三角錐の体積＝底面積×高さ×三分の一

という式があるまではわかったのですが、三角錐の高さが不明ゆえ計算できません。
一辺５mmの正三角形の面積は（底辺５ｘ√３）÷２で高さを割り出し4.33012702とし
底辺５ｘ高さ4.33012702÷２＝10.8253175
おばちゃんの頭でなんとかできたのはここまでです。

お暇な方がいらしたらご教授いただけると嬉しいです。

なんでこんな計算がしたいかといいますと・・・
生姜をすってて最後に指先でギリつまめる程度の三角錐の欠片が残り、
【直径35mm高さ20mmの円柱型の生姜をすりおろしました。
　持ち手として最後に一辺5mmの三角錐型の欠片が残ってしまいました。
　すりおろされた生姜の体積を求めなさい。】
なんていう問題が頭に浮かんじゃったからだけなんです。
円柱の体積は、まず円の面積が半径17.5×半径17.5×3.14＝961.625
それに高さ20をかけて19232.5と出ました。
なんだかものすごく大きい数字になってしまい、もうこの計算さえ合ってる自信がありませんが・・・。

回答No.5

Tacosan · ベストアンサー

「全ての辺の長さが 5 mm の三角錐」ということですね.
このようにすべての辺の長さが等しい三角錐は「正四面体」となるのですが, この場合に関しては簡単に体積を求めることができます.
実は, この正四面体は「辺の長さが 5/√2 mm の立方体」をうまく削って作ることができ, 体積は元の立方体の体積のちょうど 1/3 となります. ですから今考えている三角錐の体積は
(1/3)(5/√2)^3 mm^3 でおよそ 14.7 mm^3
と計算できます.
あと, 元の円柱の体積はその数値であってます. 単位が mm^3 なので大きな数値になっていますが, cm^3, つまり「ミリリットル」に直すと 19.2 cm^3 程度です.

お礼

回答ありがとうございます。
＞体積は元の立方体の体積のちょうど 1/3 となります
お～、この部分が式にある　÷３　の意味なのですね。
パズルや積み木をかちゃかちゃしているような、とっつきやすい説明もとてもありがたいです。

回答No.6

umaimonhaumai

一辺5mmなら、底面積は(25√3)/4,高さは5√(2/3)
体積＝1/3*(25√3)/4*5√(2/3)
=(125*√２)/12mm3
約14.73mm3
計算間違ってるかも。
>円柱の体積は、まず円の面積が半径17.5×半径17.5×3.14＝961.625
>19232.5
mmで計算するとそんなもんでしょ。
cmで計算すれば
19.2325cm3
正四面体を引くと
19.2325-0.01473=19.2177cm3

％で表すと９９．９２％をすりおろした事になりますが、多分

そんな奴おらんやろぉぉぉおおおおお！

お礼

回答ありがとうございます。
式の事はちょっと横に置いておいて・・・・
目測にはそこそこ自信があったのですが、念のため定規握り締めて台所へ行ってきました。
残った生姜の断面から、実際に使用した部位の皮を剥いたあとに残る正味分直径はほぼ３５mm、厚みは記憶だよりですが２０mmで問題なさそうで、最後につまんでいた欠片を思い出しつつ指に定規を当ててみましたが、実際はつま先でつまんでいたとはいえ１辺７mmほどあったようです。
ということは　(1/3)(7/√2)^3 = 40.4229377
そいでもって　19232.5 - 40.4229377 = 19192.0771
これをよっこらせして　19192.0771 / 19232.5 = 0.997898198
えっと・・・９９．７８％となりました！
あれ？そんなに減った気がしない・・・。

回答No.4

info22_

一辺a=5mmの正三角形が4面でできる正三角錐（正4面体）の体積Vを求める公式を使えば
V=axaxax(√2)/12=5x5x5x(√2)/12=(125/12)x√2=14.73[立方mm]
となります。

正三角錐の高さhの公式は
h=a√(2/3)=5√(2/3)=4.08[mm]

また直径35mm、高さ20mmの円柱の体積は
πx(35/2)x(35/2)x20=19242.26[立方mm]
ですね。

参考）URL
http://ja.wikibooks.org/wiki/%E5%88%9D%E7%AD%89%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%85%AC%E5%BC%8F%E9%9B%86/%E4%BD%93%E7%A9%8D#.E6.AD.A3.E5.9B.9B.E9.9D.A2.E4.BD.93.E3.81.AE.E4.BD.93.E7.A9.8D

お礼

回答ありがとうございます。
２行目の呪詛の呪文を理解するのにものすごく時間がかかってしまいました・・・
正三角錘の体積＝一辺の長さｘ一辺の長さｘ一辺の長さ（√２）÷１２　ですね。
参考のぺージ見ても正直どれがなにやらわかりませんでしたが、回答にはこちらが示した数値を当てはめて書いてくださったのでなんとか「あぁここがコレかと」繋がりました。

回答No.3

debut

正三角錐の高さは、頂点からの垂線が底面の正三角形の重心に
おりる、ということから、
　底面の正三角形の※中線の2/3、５ミリの線、高さの線
　　※正三角形の頂点から向かい合う辺の中点を結ぶ線　
でできる直角三角形を考え、その三平方の定理から
（中線が5√3/2だからその2/3は5√3/3、高さの線をｘとして）
5^2=x^2+(5√3/3)^2→ｘ^2＝50/3→ｘ＝5√2/√3→ｘ＝5√6/3

よって、１辺５ミリの正三角錐の体積Ｖは
Ｖ＝(1/3)*(25√3/4)*(5√6/3)＝125√2/12　
（約14.73立方ミリ→約0.01473立方センチ)

円柱の方は
それでいいと思いますが、単位をよくある立方センチにすれば
19.2325ですから、妥当かと。

お礼

回答ありがとうございます。
なるほど、前の方が書いてくださってたあの式にたどり着くまでにこういう考えと式があるのですね、すごいなぁ。
円柱のほうですが、たしかに立方センチでいうとなるほどな数字ですね、ほっとしました♪

回答No.2

debukuro

高さが示されていないので正四面体ダイヤモンド型と言うことですね
正４面体の高さhは辺の長さをaとすると
ｈ＝a（√6/3)
です

お礼

回答ありがとうございます。
当てはめると　高さ＝５（√６÷３）＝4.0824829　ですね。
なんというか、拒絶反応を起こさないくらいの短い式で割り出せる事がわかって、ちょっと楽しく感じました。

回答No.1

sono0315

全部の辺の長さが等しい三角錐を正四面体といいます。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93
あとはこちらを参考に

お礼

回答ありがとうございます。
参考ページを覗いてみても、最初は謎の暗号にしか見えなかったのは秘密です。
こういう式があるんだぞと忘れないためにも、参考ページをお気に入り登録させていただきました。