体積の計算を教えてください

質問

次の物体の体積がわかりません。
計算方法から教えてください。よろしくお願いします。

底辺の半径が12m、高さ12mの円錐があります。
底辺の中心から6.9m離れたところで、底辺から垂直に切断した時、小さいほうの物体の体積は何m3になるでしょうか。

回答No.5

QoooL · ベストアンサー

図1のように、円錐の頂点を原点としたｘｙｚ座標空間を考えます（円錐の中心軸がｙ軸と一致するようにとる）。すると、円錐の母線とｙｚ平面との共有点はｚ＝±ｙで表せます。

この円錐を、ｘｚ平面に平行な平面ｙ＝ｓで切ると、切り口は図2のような円になります。
ｚ＝ｙ　に　ｙ＝ｓ　を代入すると　ｚ＝ｓ
よって、切り口の円の半径は　ｓ
円の式は　ｘ^2＋ｚ^2＝ｓ^2

したがって、円錐の側面上の点（ｘ，ｙ，ｚ）は、
ｘ^2＋ｚ^2＝ｙ^2　　・・・式１
で表せます。

次に方向を変えて、この円錐を、ｘｙ平面に平行な平面ｚ＝ｓで切ると、切り口は図3のような双曲線の一部になります。
（放物線ではない。）
式１に　ｚ＝ｓ　を代入して、
ｘ^2＋ｓ^2＝ｙ^2
ｘ＝±√（ｙ^2－ｓ^2）　　・・・式２
ｙ＝±√（ｘ^2＋ｓ^2）　　・・・式３

ここから先は、２通りのうち好きな方で積分をして
車線部分の面積　Ｓ（ｓ）　を求めます。

しかし、質問者さんが積分を習っていなかったり、積分での答えを求めていなかったら、意味ないので、計算は省略します。

解法１
Ｓ（ｓ）＝∫【ｓ～１２】｛√（ｙ^2－ｓ^2）－（－√（ｙ^2－ｓ^2））｝ｄｙ
＝２∫【ｓ～１２】√（ｙ^2－ｓ^2）ｄｙ

解法２
Ｓ（ｓ）＝∫【－√（１２^2－ｓ^2）～√（１２^2－ｓ^2）】｛１２－√（ｘ^2＋ｓ^2）｝ｄｘ
＝２∫【０～√（１２^2－ｓ^2）】｛１２－√（ｘ^2＋ｓ^2）｝ｄｘ

どちらでも　Ｓ（ｓ）　は同じ式になると思います。
あとは、問題で与えられた範囲で面積を積分して体積を求めます。

（小さい方の体積）＝∫【６.９～１２】Ｓ（ｓ）ｄｓ

以上です。
積分は公式を見ながらがんばってください。

お礼

ありがとうございます。
倉庫の中の堆積物の容量を計算するのに必要でした。
タブレット片手に解説を読ませていただきました。
積分の計算に触れるのは数十年ぶりで、タブレットで調べながら計算して見ました。

回答No.3

info222_

>底辺の半径が12m、高さ12mの円錐があります。
>底辺の中心から6.9m離れたところで、底辺から垂直に切断した時、
>小さいほうの物体の体積は何m3になるでしょうか。

問題文が不正確なので以下のように修正して解答します。
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底面の円の半径が12m、高さ12mの円錐があります。
底面の円の中心から6.9m離れた、底面に垂直な平面で円錐を２つの立体に切断した時、
小さい方の立体の体積は何m3になるでしょうか。
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体積を求める立体を図示した図を添付します。
求める立体（図の水色の立体図形）の体積をVとすると
円錐の側面の方程式は
　z=12-x^2-y^2 (z≧0)
求める体積Vはzを領域D
D=｛(x,y)| x^2+y^2≦12, y≧6.9}
で重積分すれば求めることができる。
立体はxz座標平面に対して対称なので
x≧0, y≧0の領域D'の重積分を求めて２倍すればよい。
重積分は、累次積分(逐次積分)になおして積分するため、
まずxを固定してyについて積分します。次いでxについて積分して体積を求めます。以下重積分の計算は以下の通り。
なお、途中の不定積分の計算は、長くなり、手間がかかるので部分的に一部省略しました。

V=∫{z=12-√(x^2+y^2), x^2+y^2≦12, 6.9≦y} zdxdy
=2∫[0,√(12^2-6.9^2)] dx∫[6.9,√(12^2-x^2)] {12-√(x^2+y^2)}dy
=2∫[0,√96.39] dx
*[12y-(y/2)√(y^2+x^2)-(x^2/2)sinh^-1(y/x)][y:6.9,√(12^2-x^2)]
=2∫[0,√96.39] 6√(144-x^2)-82.8+3.45√(x^2+47.61)-(x^2/2)sinh^-1(√(144-x^2)/x)+(x^2/2)sinh^-1(6.9/x) }dx
≒136.03 m^3　…(答)

お礼

ありがとうございます。
タブレットで調べて大昔の記憶を掘り起こしながら解説を読ませてもらいました。
計算も一生懸命やってみたのですが、うまくでないのでもう少しがんばって計算してみます。
倉庫内での堆積物の容量計算で困っておりましたので大変助かりました。

回答No.2

asuncion

円錐の底辺って、何ですか？
底面のことですか？

補足

すみません。間違えました。
底面です。