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不等式で表される立体の体積を求め

不等式で表される立体の体積を求め |x+y+z|+|-x+y+z|+|x-y+z|+|x+y-z|<=4 どのように計算すれば良いのかが分かりません。 どなたか教えていただけませんでしょうか><

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  • alice_44
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回答No.5

斜行座標系で体積を計算することに抵抗感がなければ、 u = -x+y+z, v = x-y+z, w = x+y-z と一次変換するほうがよさげ。 問題の式は、|u+v+w|+|u|+|v|+|w|≦4 と変形されるから、 No.2 同様の考察より、0≦u≦v≦w に制限した体積を あとで (2^3)(6!) 倍すればよいことが解る。 0≦u≦v≦w に制限した体積は、uvw座標系で求めた体積を、 xyz座標系から uvw座標系への変換行列 -1 1 1 1 -1 1 1 1 -1 の行列式で割っておけばよい。行列式の値は、4 になる。 |u+v+w|+|u|+|v|+|w|≦4 かつ 0≦u≦v≦w の uvw座標系での体積は、 No.3 と同様に変形して、0≦u≦1/2 かつ u≦v≦1-u/2 かつ v≦w≦2-(u+v) より、 ∫[u = 0 ~ 1/2] ∫[v = u ~ 1-u/2] ∫[w = v ~ 2-u-v] dw dv du を計算する。 …このくらいなら、できそうだ。

yth2010
質問者

お礼

さっそくのわかりやすいご回答ありがとうございます! 助かりました!

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その他の回答 (4)

  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.4

No.3 の続きをやると… x+y-z≦0 の範囲は [1] 0≦x≦1/2 かつ x≦y≦1-x かつ x+y≦z≦1 だけで済むが、 x+y-z≧0 の範囲は [2] 0≦x≦1/2 かつ x≦y≦1-x かつ y≦z≦x+y または [3] 0≦x≦1/2 かつ 1-x≦y≦1-x/2 かつ y≦z≦2-(x+y) または [4] 1/2≦x≦2/3 かつ x≦y≦1-x/2 かつ y≦z≦2-(x+y) となる。 [1] と [2] は 0≦x≦1/2 かつ x≦y≦1-x かつ y≦z≦1 とくっ付けられるにしても、 まだ三重積分が3個あり、相当面倒くさい。 …ダメだこりゃ。

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  • alice_44
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回答No.3

24倍じゃなく、48倍だったね。 (0≦x≦y≦z かつ x+y-z≧0 かつ x+y+z≦2) および (0≦x≦y≦z かつ x+y-z≦0 かつ z≦1) の体積の48倍。

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  • alice_44
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回答No.2

ナイーブに場合分けすると、 5連立一次不等式が16組出てきて ワケワカランようになる。 対称性を利用しよう。 問題の図形は、x,y,z各々の符号反転と、 x,y,zの内の2個の入れ替えという 計6個の操作で、式が変化しない。 よって、0≦x≦y≦z である部分だけ見れば、 あとは、それと合同な部品が (2↑3)×(3!)個あることになる。 0≦x≦y≦z かつ (x+y+z)+(-x+y+z)+(x-y+z)+|x+y-z|≦4 の体積を求めて、 最後に24倍すればよい。

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回答No.1

この立体は直方体で、x,y,zは各辺の長さという認識で間違いないでしょうか?

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