電気力線と全電束について

質問

電気力線は電場ベクトルの方向を結んで描いた曲線ですよね、そして、単位面積あたりの電気力線の数を電束密度というんですよね。ここまでは理解できるのですが、そこから、全電束Ψは
Ψ＝∫ｓ　Ｅ・ｄＳ＝∫ｓＥ_ｎｄｓ
となるのがわかりません。確かに電気力線の数は電束密度に面積をかけたら求められるでしょうが、なぜ電位ベクトルと微小面積との内積を取ればいいのかがいみがわかりません。またなぜ、法線ベクトルを用いてくるのかも意味が理解できません。やさしく教えてください。よろしくお願いします。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

> なぜ電位ベクトルと微小面積との内積を取ればいいのかがいみがわかりません
電位ベクトルでなくて電場ベクトルですね．
単なるミスタイプならいいんですが．

さて，面をベクトルにするところから始めましょう．
積分で問題にするのは微小面積ですから，平面と思ってさしつかえありません．
で，その面に法線を立てて，
方向がその法線の向き，大きさが dS というベクトルを
[ベクトル dS]とするのです．
これで法線の問題はＯＫ．

では，なぜ内積か？
簡単のため，真空中の話にします．

図１

↑↑↑↑↑ 電場ベクトル E

─────
　　dS

の様に電場と，考えている微小面積とが垂直なら，
面を貫く電束は，電束密度 D=ε(0)E と 微小面積 dS の積でＯＫです．
だけど

図２

↑↑↑↑↑ 電場ベクトル E

＼
　＼　　┐[ベクトル dS']
　　＼／
　　　＼
　　　　＼

のように斜めになっているかもしれない．
もちろん，面を貫く電束数は図１も図２も同じ．
つまり，ベクトル E とベクトル dS' との間の角度をθとすると，
有効面積は dS' cosθ になっています(dS = dS' cosθ)．
図２の面を貫く電束 ε(0)E dS' cosθ ですが
E dS' cosθ はベクトル E とベクトル dS' の内積に他なりません．

回答No.1

kenkenda

電気力線　電束管の区別

ある導体に＋qの電荷があるとき、その電荷からｑの電束がでている。
この電束に対して直角な単位面積あたりに何本の電束があるのかが「電束密度」

ある部室の誘電率をｒとしたとき＋ｑの電荷からはｑ／ｒほんの「電気力線」がでている。
この電気力線に直角の単位面積あたりに何本の電気力線があるのかと言うのが「電界の強さ」になります。

このように定義として考えれば、自ずと理解できるのではないですか。
当たり前にたいなことですが、これらは「球体」でですよ。