微分の疑問

質問

y=x^2を微分したら2xとかsinxを微分したらcosxとか、よく普通にやっていますが、もしこの関数達の微分する部分が連続性を持たない(y=｜x｜のx=0など)なら微分不可能ですよね
だとしたらこの関数達を微分する部分が連続性を持ってることを示さなければならないということになりますが、どうやれば連続であることを示せるのでしょうか？
直感は数学では通用しないので、示す方法が存在すると思います もしかしたら単純なことかもしれませんが教えてください

回答No.1

MagicianKuma · ベストアンサー

質問者さんは大きな勘違いをなさっています。
(1)「関数 f(x)が点aで微分可能　⇒　f(x)は点aで連続」　は成り立ちますが、
(2)その逆、「関数 f(x)は点aで連続　⇒　f(x)は点aで微分可能」　は成り立ちません。
(3)もちろん(1)の対偶、「関数 f(x)は点aで連続でない　⇒　f(x)は点aで微分可能でない」は真です。

ですから、連続性をいくら示しても微分可能を示せるわけではありません。
y=|x|は x=0 で連続です。ですが x=0 で微分可能ではありません。

微分可能とは　h>0として
(4) f'＋(a)=lim[h→0] (f(a+h)-f(a))/h を右からの微分値
(5) f'－(a)=lim[h→0] (f(a-h)-f(a))/-h を左からの微分値　として
(6) f'＋(a)=f'－(a)　のとき微分可能と言います。
ですから、(4)(5)(6)を示せばよろしい。

お礼

色々勘違いしていました
勘違いの訂正かつ微分可能かどうかを示す方法を教えて頂きありがとうございます

補足

絶対値が連続なのは分かりましたがなぜ微分不可能かわかりません 教えてください

回答No.3

statecollege

関数は、微分可能であれば、連続です。簡単ですから、証明しておきましょう。関数f(x)は点ｘで微分可能で、微分係数f'(x)を持つとします。すると、

いま、ｔ≠xとし、ｔ→ｘとすると

　　　f(t) - f(x) =[(f(t)-f(x))/(t-x)]・(t-x) →　f'(x)・0 = 0

となり、lim(t→x）f(t) = f(x)　（f(x)が点ｘにおいて連続であることの定義）が証明された。ｆ（ｘ）= x^2のように微分可能であることが分かっている場合は、その関数が連続であるかどうかチェックする必要はないのです。念のため、f(x)=x^2が微分可能で、f'(x)=2xであることは、t→ｘとすると

　　　　(f(t)-f(x))/(t-x) = (x^2 - t^2)/(x-t) = (x+t)(x-t)/(x-t) = x+ t → 2x

より証明される。

お礼

証明ありがとうございます
よく分かりました

回答No.2

MagicianKuma

補足質問に対する回答です。
y=f(x)=|x|　とします。
f'+(0)を求めてみます。
f'+(0) = lim[h→0] (f(0+h)-f(0))/h = lim[h→0] (|h|-|0|)/h = lim[h→0] h/h = lim[h→0] 1 = 1
f'－(0)を求めてみます。
f'－(0) = lim[h→0] (f(0-h)-f(0))/-h = lim[h→0] (|-h|-|0|)/-h = lim[h→0] h/-h = lim[h→0] -1 = -1
f'+(0)≠f'－(0)　よって f(x)はx=0で微分可能でない。
以上

お礼

分かりました 回答ありがとうございました