数学について

質問

四角形ＡＢＣＤがあります。
それに辺ＡＤの中点をＥ、辺ＡＢの中点をＦ、辺ＢＣの中点をＧ、辺ＣＤの中点Ｈがあります。
ＥとＧ、ＦとＨを直線で結びます。
それをハサミで切ります。
すると４つの四角形ができますよね。
それをいろいろな向きに並びかえると平行四辺形が必ずできます。
その理由がよく分からないので教えてください。

回答No.2

KEIS050162 · ベストアンサー

考え方だけ。

ＥＧとＦＨの交点をあとで分かりやすいように４つ定義しておきます。Ｏａ（四角形ＡＥＦＯａの角）、Ｏｂ、Ｏｃ、Ｏｄとしましょう。

切り離してつなげた時は、四つの角、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄが中央になり、出来上がった平行四辺形の四つの角は、Ｏａ、Ｏｂ、Ｏｃ、Ｏｄになります。
つなげる場合、例えば四角形ＦＡＥＯａと四角形ＥＤＨＯｄをつなげるには辺ＡＥとＥＤを点Ｅを中心に回転させてつなげます。点ＥはＡＤの中点なのでＡＥ＝ＥＤですね。

ここで、つなげた図形が四角形になるには、
(1)角辺が直線上になる必要があり
(2)角Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの和が３６０°
になる必要があります。まずこれを証明します。

次に、新しく出来た四角形が平行四辺形になるには、
(3)対角（角ＯａとＯｃ、角ＯｂとＯｄ）が等しい
必要があります。

(1)は、例えば∠ＡＥＯａ＋∠ＤＥＯdは元々１８０°だったので簡単に証明出来ますね。

(2)は、∠ＥＯａＡ　＝　３６０°　－　残りの三つの角
他の角についてもこの様に表して、足し合わせて整理すれば証明出来るはずです。

(3)は、もっと簡単でそれぞれは交わった直線の対頂角なので、すぐに分かります。

図を描いたり、実際に紙で作ってみたりすると、更に良く分かると思います。

ご参考に。

お礼

ありがとうございましたっ！

回答No.3

gohtraw

ＥＧとＦＨの交点をＯとして、四角形ＡＦＯＥとＥＯＨＤを、ＥＡとＥＤが重なるように合わせます（両者の長さは等しいので過不足なく重なるはずです）。すると∠ＡＥＯと∠ＤＥＯの和は１８０°なので、図の赤い線の部分（ＥＯに相当する部分）は折れ線ではなく直線になります。

四角形ＦＢＧＯとＧＯＨＣについても同様にＧＢとＧＣが重なるように合わせるとやはり図の赤い線の部分（ＧＯに相当する部分）は直線になります。

つづいて上記でできた図形二つを合わせますが、ＨＣとＨＤ、ＦＢとＦＡが重なるように合わせる（この場合もそれぞれ長さは等しいので過不足なく重なるはずです）わけですが、上記と同様に∠ＯＨＣとＯＨＤの和、∠ＯＦＢと∠ＯＦＡの和はいずれも１８０°なので、やはり図の赤い線の部分（ＨＯ、ＦＯに相当する部分）は折れ線ではなく直線になります。

このようにすると図の赤い線だった部分を辺とし、点Ｏ（元の図で点Ｏに相当する点）を頂点とする四角形ができるわけですが、∠ＥＯＨ＝∠ＦＯＧ、∠ＥＯＦ＝∠ＨＯＧなおで、新しくできた四角形の向かい合う内角は等しくなります。これって平行四辺形ってことですよね？

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

＞それをいろいろな向きに並びかえると平行四辺形が必ずできます。
ここの規則性を見つけられれば、理由もわかると思います。
平行四辺形を作ったとき、
・元の角（角Ａ、角Ｂ、角Ｃ、角Ｄ）はどこにありますか？
・また、赤い線で作られた角はどこにありますか？

理由となることがらは、次の 2つだと。
・四角形の角の和は、360度である。
・対頂角は等しい。

辺の長さよりも、角度に注目してみるといいと思います。