数列の問題です。解けずに困っています。

質問

Σ[k=1;n]A(k)=T (一定)のとき

f=A(1)+A(1)A(2)+A(1)A(2)A(3)+...+A(1)A(2)..A(n)

を最大にするには、
A(1),A(2),...をどのように定めればよいか。
ただし、T>0でありA(1),...,A(n)もすべて正の実数。
また、nもfが最大となるように自由に決めるものとする。

という問題です。自分の予想は以下の通りです。

「
a(1)=c (0<c<=1)
a(2)=c+1
以降は
a(k+1)=a(k)+1-a(k-1)/a(k)
で求められる数列a(k)のうち、
Σ[k=1;n]a(k)=Tとなる(c,n)の組み合わせが
少なくとも1つ存在するが、※
そのうちcが最大である(c,n)の組み合わせによってできる
数列
a(1)=c,a(2),a(3),...,a(n)を逆から並べ
A(1)=a(n),A(2)=a(n-1),...,A(n)=a(1)として定めたもの
」

※までは証明できていますが、そこから先は予想が正しいかも含めて良く分かっていません。※までが正しいかどうか、つまり「A(k)はa(k)を逆から並べた数列であることが必要条件である」も含めて検討をよろしくお願いします。

回答No.2

stomachman

条件付きの極値問題なんだから、ということで、nを固定して、素直にラグランジュの未定乗数法を使うとどうなるかな？と思って、ちょっと手を付けてみました。

A[1]+…+A[n] - T = 0
の条件下で
f = A[1]+A[1]A[2]+…+A[1]…A[n]
を最大化する。

L = f + λ(A[1]+…+A[n] - T )
とするとき、条件を満たしつつfが極値を取るには、
∂L/∂A[i] = 0 (i=1,2,…,n)
∂L/∂λ= 0（つまりA[1]+…+A[n] =T)
を満たすのが必要十分条件。

　で、∂L/∂A[i] = 0の微分を実行すると(iが大きい順に）
A[1]…A[n-1]+ λ = 0
A[1]…A[n-2](1+A[n])+ λ = 0
A[1]…A[n-3](1+A[n-1]+A[n-1]A[n])+ λ = 0
:
A[1](1+A[3]+…+A[3]…A[n] )+ λ = 0
1+A[2]+…+A[2]…A[n] + λ = 0
となる。A[1]…A[n-1]+ λ = 0を使ってλを消去すると、
(1+A[n]) = A[n-1]
(1+A[n-1]+A[n-1]A[n]) = A[n-2]A[n-1]
:
(1+A[3]+…+A[3]…A[n] ) = A[2]…A[n-1]
だから
A[n-1] = 1+A[n]
A[n-2] = A[n-1]+ 1/A[n-1]
:
A[k] = A[k+1]+1/(A[k+1]…A[n-1])
:
も少しいじくればご質問にある漸化式の形になるわけですが、こっちの形も捨てがたい。
●A[n]＞0であればA[i](i=1～n)は全て正である。
●A[n]＞0のとき、A[n],A[n-1],...の列は単調増加である。
●A[k]-A[k+1]は正で、指数関数的に小さくなるから、A[n],A[n-1],...の列は速やかに収束する。
という様子がすぐに分かるからです。
　そこで、A[k]≒T/nと近似して
（f ≒）　g=(T/n)+(T/n)^2+…+(T/n)^n
の最大値を大ざっぱに計算してみると、gが最大になるのはだいたいn≒T/3のあたりである。ここまで来れば、数値計算でなら、与えられたTに対してn, Aを出せそうです。が、この先がどうも手強いですねー。

回答No.1

noname#152421

この問題は、どこに書かれていたのでしょう？
私自身、カッコの中をどうやって導いたかまでわかりましたが、cやnの決定はできていません。
ですので、以下は回答と呼べる代物ではなく、単なるコメントです。

> a(k+1)=a(k)+1-a(k-1)/a(k)

nを固定してn項の数列を実n変数空間の点とみてそこで定義された関数の極値問題として停留点を計算して導いたのでしょうか？
自分の場合は、カッコの後半のA()のままで計算してみてそう思いました。

そうだとすると「※」までではなくてカッコの中の後半部分もセットになっています。

上記の式は二つの条件式から特定の項を消去してでてくるわけですが、沢山の項が一気に消えてきれいな形になりはするものの、一つ条件が脱落してしまうので、元の形をそのまま使ったほうが良いような気がします。そうしないと、十分性が消えてしまうということになるのですが、Tについての分類やnを動かして評価するときに、範囲が広がりすぎて正確に評価できなくなってしまうと思われるからです。

小さいnについてためしにTやcに値をいくつか入れてみてグラフを描いたりしたのですが、Tの値によって挙動がかなり異なってきます。Tがnより小さいと最大値を与える点がどんどん境界（A(1)軸）付近に移動していってしまいます。つまり、Tの条件によってはあるnについて最大値が存在しなくなってしまう。逆にTがnに比べて十分大きいときれいに定義域の真ん中あたりが最大になっているようです。

その後nを動かして評価するという方針にしたとして、Tやnに何の制限も設けないのであれば、本質的には無限次元空間の極値問題と考えられるのでまともにいくと完全に解くのは一見かなり厄介な気がします。でも、シンプルな問題なので多分すでに昔の誰かが何らかの形で解決しているんでしょうね。お役に立てずすみません。