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写像
数学で写像の勉強をしてるのですが、ほとんど分かりません。いったい写像とは何がやりたいんでしょう。この点がこっちのこの点に写像される、とかあるけど、「だから何？」って感じです。 写像をするとはどういうことか、何のためにやってるのか、写像を身につけるとどんなことが理解できるようになるのか、 などなど写像の何たるかを教えてください。
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＞写像をするとはどういうことか、 写像って、英語でMappingと言うのですが、 Mapって、つまり地図のことです。 ある条件で地図を作っていると考えて 下さい。そのある条件の内容が、写像です。 本物の地図を作るとき、元になるのは 測量データです。しかし、地図はその測量 データの実寸どおりではありません。 １万分の１みたいに縮小してあります。 この、点と線のつながりの関係を変えず、 縮小するという変換条件が写像の条件の一例です。 ＞この点がこっちのこの点に写像される、とかあるけど、「だから何？」って感じです。 中学校の数学で、点が並んだのが線で、線が二次元的 に広がったのが面と習っていると思います。 点の移動条件（写像）を変えてやると、図形変換 ができるのです。 ＞何のためにやってるのか、写像を身につけるとどんなことが理解できるようになるのか 今は右の点の集合を左の点の集合に写すという 集合の移動という簡単な例で説明が進んで いると思いますが、点の集合は線であり、面で あり、立体図形であることを考えれば、これは 幾何学に応用できること想像できると思います。 中学校で合同、相似というのを習ったと思います。 合同、相似は一言で言うと、２つの図形が同じ だということですね。ただ、同じと認める条件が 違うだけです。 相似は大きさが違っても形（点、線の数とその はさむ角度）が同じならいいというもの。 もう一歩進んで、点とそれを結ぶ線の数が 同じ２つの図形を同じとみなす方法があり、 これを同相と言います。 ある図形を一対一、上への写像（全単射）で 変換すると、同相図形が作れます。 この同相という概念、位相幾何学（トポロジー） という数学の分野で主に使われるのですが、 これが現代物理学を理解するために必須なのです。 高校では、微分積分が中心となっていると 思いますが、これは１７世紀にニュートンと ライプニッツらによって作られた数学で、 これらの数学に基づいた物理学では解明 不能と思われる問題が沢山あるのです。 位相幾何学は１９世紀末にフランス人 物理数学者、アンリ・ポアンカレによって作られた もので、２０世紀後半から現在までこの 位相幾何学を基礎としたポスト現代物理学と 呼ばれる分野が発展を見せています。 写像の概念は、そうしたわくわくするような 物理学への扉を開く１つのカギです。 数学で楽しむことを忘れないで下さいね。
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- jmh
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> ......定義を覚えろってことですよね？ > いいえ。たぶん、問題は具体的なのを訊いてみたほうが良いと思います。
- Mell-Lily
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数学では、まず最初に、写像や集合などの諸概念を学びますが、これらは、実際のところ、”数学の言葉”なのです。英語を勉強するとき、まず、単語を勉強しますね。同じく、数学を勉強するにも、単語からということなのです。これらの勉強は、すぐに、何らかの実利をもたらすというわけではないかもしれません。何か新しい世界を知るための準備と思っていればいいでしょう。
- grothendieck
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関数をわざわざ写像と言い換えて学習するには主に二つの目的があると思われます。 (1) 位相空間の性質(コンパクト性など)が写像でどのように移されるかを調べること。 (2) ホモロジー代数、コホモロジーを勉強する準備をすること。 今習っている先生に聞いても良いと思います。私よりは良い答えが得られるでしょう。
- mmky
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参考程度に 写像をするとはどういうことか、何のためにやってるのか、写像を身につけるとどんなことが理解できるようになるのか、 ということですね。 例えば、数列でしたら 数列の写像は、コンピュータやPCのパスワードの暗号化やデータの暗号化に使われていますね。わかりやすくいえば「あみだくじ」の数学でしょうか。 暗号化というのは数学的には写像なんですね。 また、映像もデジタル化されていますので数列の連続ですね。 そんな感じだとわかりやすいですかね。だから現代では非常に重要な数学のひとつですね。
- jmh
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足し算＋は写像: Ｎ×Ｎ→Ｎ です。 １＋２＝３ 数列 (ａ[1]，ａ[2]，ａ[3]，…) は写像: Ｎ→Ｒ です。 ａ(ｎ)＝ａ[ｎ] ｎ×ｍ行列Ａは写像: {1，…，ｎ}×{1，…，ｍ}→Ｒ です。 Ａ(ｉ，ｊ)＝Ａの (ｉ，ｊ)-成分 微分 d/dx は写像: Ｒ[ｘ]→Ｒ[ｘ] です。 d/dx(ｘ^2＋ｘ)＝２ｘ＋１ > 「だから何？」って感じです。 > 実際「だから何？」って感じのモノだと思います。
- fushigichan
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seremさん、こんにちは。 写像、と言われても、確かによく分からないところがあると思います。 写像には、集合が関係しています。 ある集合の要素をうつしたとき、どううつるのか。 例えば、二つの集合ＳとＳ’があったときに、 Ｓの元ｘに対して、Ｓ’の元ｘ’が一つ決まるとき、 このような対応のことを Ｓ→Ｓ’への写像、といいます。 f:S→S' と書きます。 二つの集合ＡとＢがあって、二つの写像 f:A→B g:A→B があったとき、fとgが等しいとは、 すべてのＡの元aに対して f(a)=g(a) が成り立っているとき、fとgは等しいといい、f=gと表します。 写像というのは、簡単にいうと関数と同じことで 関数というのは、中学校から習ってきたような y=xとか、y=x^2とか、y=sinx などのようなものです。 これは、xの定義域Xから、yの値域Yまでの写し方ですね。 x∈Ｘには、同じx∈Ｙをうつすような関数（写像）は y=x と表せますし、 x∈Ｘには、x^2を対応させるような関数は、 y=x^2 と表せます。 写像とは、「どうやってうつすのか」「どういうルールでうつすのか」 を考えるものと思ってください。 数（と思っていいと思います）のうつしかたの規則のようなものだと思います。 説明がうまくなくてすみません。
補足
みなさん、いろいろ教えてくっださってありがとうございます。 しかし、「この写像をこの写像に写せ」みたいな問題がいまいち解けません。 数字を写すルールみたいなものを学んでいるという事は、けっこう解き方は、丸暗記みたいな感じでもいいんでしょうか？定義を覚えろってことですよね？