逆写像について

質問

逆写像について質問です。
教科書で定義を見てもいまいち理解できません。
具体的な例を挙げます。

いま、A={a,b,c,d,e}とし、AからAへの写像fを
f={(a,c),(b,a),(c,d),(d,b),(e,e)}
とするとf^(-1)の値はどうなるか？

自分が考えたのは、単にそのまま逆にして
f^(-1)={(a,b),(b,d),(c,a),(d,c),(e,e)}
となるのではないかと思ったのですが、これで合っていますでしょうか？
逆写像の考え方等どなたか詳しい方は教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.2

zk43 · ベストアンサー

定義は
写像f:X→Yの逆写像f(-1):Y→Xとは、y∈Yに対してf(x)=yとなるx∈X
を対応させる規則のことですね。

これはfが全単射でなくてはちゃんと定義できません。

たとえば
f:{a,b,c}→{a,b,c}
を
f(a)=a
f(b)=a
f(c)=b
などと定義すると、
f(-1)(a)はaとbの２つ
f(-1)(b)=c
f(-1)(c)はない
などとなって、f(-1)が定義できません。
これは、fが単射でも全射でもないからです。

また、
f:{a,b,c}→{a,b,c,d}
を
f(a)=a
f(b)=b
f(c)=c
と定義すると、
f(-1)(a)=a
f(-1)(b)=b
f(-1)(c)=c
f(-1)(d)はない
となって、f(-1)は定義できません。
これは、fが単射ではあるが、全射ではないからです。

しかし、単射ではあるが、全射ではない写像f:X→Yに関して、
f(-1)の定義域をf(X)に限定すれば逆写像がちゃんと定義できます。

また、f(-1)の逆写像はもとのfになります。

集合XとYの間に全単射f:X→Yが定義できるときにXとYは対等といって、
X～Yなどと書きます。XとYが有限集合なら、XとYの要素の個数が等しいときのみ可能です。

XとYが無限集合でも、たとえば、
X：自然数全体の集合、Y:偶数全体の集合
として、f(n)=2nと定義すると、fは全単射で、X～Yであり、
f(-1)(2n)=nで逆写像はちゃんと定義できます。
すなわち、XもYも無限の度合いが同じということです。

また、X:自然数全体の集合、Y：有理数全体の集合
としても全単射f:X→Yがちゃんと定義でき、X～Yです。
すなわち、有理数全体の集合は１、２、３、・・・と番号付けを
することができます。
（これは最初は不思議で、ちょっと難しいですが、数学者カントール
の考えた方法で、本当です。）

しかし、X：自然数全体の集合、Y：実数全体の集合とすると、
全単射f:X→Yは定義できないので、X～Yではありません。
すなわち、実数全体の集合は無限の度合いが自然数全体の集合より
高いということで、１、２、３、・・・と番号を付けてすべてを数
え上げることはできません。

逆写像を考えるときは、定義域、値域をしっかり念頭に置くことが
肝心です。

どのレベルの方かわからないので、いろいろ書いてしまいました。
（ほとんど集合の教科書に書いてあると思いますが。）

お礼

ご丁寧な説明ありがとうございます。
カントールの考え方は授業の中で聞いた気がします。
運動会の玉入れ競技で玉の数を数えるときと同じだとかなんとか・・・。
でもやっぱりまだ僕にとっては少し難しいです。色々考えてみます。
どうもありがとうございました。

回答No.1

ojisan7

それで合っています。ese_prograさんは逆写像を正しく理解しています。もう少し自信を持っても良いのではないでしょうか？

お礼

ありがとうございます。
どうもあまり得意でなく自信が持てないみたいです。
できればなにか説明をしてくださるとありがたいのですが・・・。