写像について
写像がwell-definedである定義がよく分かりません。
というのも、well-definedの定義が
もしa=bであるなら写像 f(a)=f(b)である。
というのは分かります。
ですが、教科書に、正式な写像の定義とは
写像f:A->Bとは、集合AXBの部分集合（a,f(a))であり （a∈A、f(a)∈B)
写像がwell-definedである時は、（集合としての)写像の全ての最初の要素（Aに属するもの)が一度しか現れない時である。
みたいなことが書かれてました。
ですが、仮にそうだとしたら
写像 f: A->R
で、f(a)=5
だとします。
ですが、5は10/2とも20/4とも同等関係にあるため、さらに5, 10/2, 20/4∈Rです。
f(a)=5, 5=10/2 で推移律から
f(a)=10/2と言えるはずです。
で、b=5 b'=10/2とおくと
f(a)=b, f(a)=b'
となり、写像は(a,b)と(a,b')と最初の要素aが二個以上出てきます。
つまり、これはwell-definedでは無い、ということになります。
勿論(a,b)と(a,b')は同値関係にあり、上のもしa=bならばf(a)=f(b)である
というのには適応しますが、
教科書の定義には反することになってしまいます。
何故ならこの写像は(a,b)と(a,b')が成立せねばならず、さらにbとb'はRに存在することから
確実に二つ以上の（実際は無限)の最初の要素がaの写像集合が出来てしまうからです。
分かりにくいかもしれませんが、もう一度言うと、
写像の中には推移律により(a,5)も(a,10/2)存在しなければならず、勿論5=10/2ですが、
二組以上存在するのは、確かです。
ということは、教科書の定義が間違っている、ということでしょうか？
それとも、私の理屈に何か間違いがあるのでしょうか。。？
どなたかよろしくお願いします。
