動的粘弾性

質問

動的粘弾性の複素弾性率の説明で
正弦振動を複素数表示するとあり、
応力のσ(t)=σ0sin(ωt+δ)をσ(t)=σ0expi(ωt+δ)
と書き直して、その後に同様に歪みも
γ(t)=γ0sinωtをγ(t)=γ0expiωtとして
複素弾性率を説明しています。
この置き換えは他を調べてもみあたらないのですが
常套手段なのでしょうか？オイラーの式と関係ありますか？
詳しく教えていただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

bibendumbibendum · ベストアンサー

簡単な計算をしてみます。
応力　σcosωt　を加えたときに　歪みは位相のずれ　Gσcosωtとならず
位相のずれを生じます。
したがって、Gσcos（ωt+δ）という形になります。
位相のずれについては大丈夫でしょうか？

三角関数の公式をつかいながら計算をします。
Gσcos（ωt+δ）
=Gσcos(δ)cos(ωt)-Gσsin(δ)sin(ωt)
=cos(δ)Gσcos(ωt)-sin(δ)Gσsin(ωt)　－－－－－－－－－(1)
となります。

複素表示で計算してみます。
応力σexpi(ωt)、複素弾性率G'+iG"の歪みは
(G'+iG")σexpi(ωt)です、その実数部は
G'σcos(ωt)-G"σsin(ωt)　　　　　　－－－－－－－－－(2)
です。

（１）と（２）を比べるとわかるのではないでしょうか？
最初はなれないかもしれませんが複素表示のほうが計算が楽です。

お礼

大変丁寧なご回答ありがとうございました。
私にとって虚数はなじみがなく
直感的にとらえることができず苦しんでいました。
完璧に分かったとまでは言えませんが
「複素表示して実数部を使用する」という意味は理解できました。

回答No.1

bibendumbibendum

はい、オイラーの式そのものです。
expi(ωt+δ)＝cos(ωt+δ)＋isin(ωt+δ)ですよね。
物理の計算では微分をしたり、かけ算をすることがありますが
sin、cosが入れ替わらない、カッコの中をたすだけで計算がおわる
など複素表示をすると計算が楽になります。
ただし、複素表示にしておいていつもその実数部分だけを使うというルールがあります。
よく使われるのが電気回路ですね。
教科書の最初のほうに載っている式をsin、cosで計算と複素表示で計算の両方をやってみるといいです。複素表示表示に楽さがわかります。
expi(ωt+δ)の実数をとるとcos(ωt+δ)でsin(ωt+δ)にはなりませんが、sinとcosは位相がずれるだけで形は同じです。時間軸の原点を少しずらしただけです。

補足

ご回答ありがとうございました。
「複素表示にしておいていつもその実数部分だけを使うというルール」とはこの場合どのように当てはめるのでしょうか？
ちなみに複素弾性率の式の続きは以下のようで
G*=σ(t)/γ(t)=σ0expi(ωt+δ)/γ0expiωt
=(σ0/γ0)expiδ=(σ0/γ0)(cosδ＋isinδ)=G'＋iG''
G' =(σ0/γ0)cosδ
G''=(σ0/γ0)sinδ
虚数部をG''としてあらわしているのですが...
物理の知識があまりありませんので
とんちんかんな質問でしたら申し訳ありません。