例えばなぜ、1/A=A-1とおくことができるのでしょうか?

質問

例えばなぜ、1/A=A-1とおくことができるのでしょうか?
A-1の-1は指数です。
分かり易く教えて下さる方は、ご回答を宜しくお願い致します。

回答No.2

ORUKA1951 · ベストアンサー

簡単に言うと次のようになります。
Ａ^2とは、A×Ａのことですね。　　　　　例）　3^2
　　　　　　　^^^^^^^Ａを２回かけ合わせる。　3×3
　　　　　　　　　　　＝ＡのＡ倍　　　　　　　　　3×3★
　　　　　　　　　　　＝ＡをＡ回加える。　　　　3+3+3
　この関係はよいですか？？
A^3とは、A×Ａ×Ａのことですね。　　　例）　3^2
　　　　　　　^^^^^^^Ａを３回かけ合わせる。　3×3×3★
　　　　　　　　　　　＝ＡのＡ倍のＡ倍　　　　　3×3×3
　　　＝ＡをＡ回加えたものをＡ回加える　(3+3+3) + (3+3+3) + (3+3+3)
★の部分の注目、^{n}のnが一つ増えるたびに、Ａ倍されています。
★逆に下から上を見ると、^{n}のnが一つ減るたびに1/A倍になってます。

　では、A^1 は、A^2の1/Aになっていることを確認してください。
　A^1 は、A^2 × 1/A ですね。nが1減るごとに、1/Aになっている
ここからが本題
　では、Aの1/A は、いくらか？？？
　　それは、1ですね。※
　　　　AはA^1 ですから、A^0 ですから、
　　　　n-n=0で、A^0とあらわせる。

　では、1(すなわちA^0)の1/Aはいくら？？
　　　当然、1/A ですね。これは0-1で、-1ですから
　　　A^{-1} とあらわせる。
　では、その1/Aは・・・・・A^{-2}

　これは面白い性質をあらわしていて

　{A^n] × [A^m] ＝ [Ａ×・・n個・・×A]　× { Ａ×・・m個・・×A　]
　　　　　　　　　　　＝A×・・・(n+m)・・・×A
　　　　　　　　　　　＝A^(n+m)
　なんと掛け算が足し算になるということ。同様に割り算は引き算になる。

　[A^n] / [A^m]　＝Ａ^(n-m)

　たとえば、1000000 ÷ 100 = 10^6 ÷ 10^2
　　　　　　　　　　　　　　　　　 = 10^(6-2)
　　　　　　　　　　　　　　　　　= 10^4
　　　　　　　　　　　　　　　　　= 10000 ですね。
　同様に、1÷10 = 10^0 ÷ 10^1
　　　　　　　　　　　= 10^(0-1)
　　　　　　　　　　　= 10^-1
　　　　　　　　　　　= 0.1
　これって普段何気なく使っていたりしますよね。

色々な数で試してみよう。

お礼

お礼が遅くなりましたm(__)m
とても丁寧にご回答下さり有難うございます！
参考になりました。

回答No.4

Tofu-Yo

3^1=3^(2-1)=3^2*3^(-1)・・・(a)

を成り立たせたいので自然と
(a)⇔3^(-1)=(3^1)/(3^2)=1/3
と定義すればいいことになりますよね。

ちなみに3^0=1も同じ考え方です。
3^2=3^(2+0)=3^2*3^0
を成り立たせたいので・・・

お礼

お礼が遅くなりましたm(__)m
ご回答を下さり有難うございます！
とても参考になりました。

回答No.3

alice_44

「A=0 とは限らないから」じゃないでしょうか。

1/A も A~(-1) も、どちらも A≠0 の範囲で定義され、
/ の定義上、両者は一致します。
x/y の定義は、x・y~(-1) ですからね。

ということは、
「1/A=A~(-1) と置ける(仮定してもよい)」ことと
「A≠0 と置ける(仮定してもよい)」ことは、同値です。

なぜ、A≠0 と仮定してもよいかといえば、
質問文には明記されていませんが、
それ以前の時点で A=0 とは仮定されていないから
と考えるのが自然でしょう。

既に A=0 と仮定されているところへ
1/A=A~(-1) と置いてしまったら、
そのような A は、存在しないことになりますから。

お礼

お礼が遅くなりましたm(__)m
ご回答を有難うございます！
とても参考になりました。

回答No.1

noname#29493

1＋a=0となるようなaを-1とする。定義です。そういうことを考えると
例えばx≠0として
x^(1＋a)で1＋a=0のとき
x^(1＋a)＝x^0＝1
さらにx^(a＋b)＝x^a・x^bより
x^(1＋a)＝x・x^a＝x・x^(-1)＝x^0＝1
よってx・x^(-1)＝1が言えてx≠0なので両辺にxでわると
x^(-1)＝1/xが成り立つ

お礼

お礼が遅くなりましたm(__)m
ご回答を下さり有難うございます!
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