(n-1)次元単位表面積について

質問

今、n次元内での(n-1)次元単位球面の表面積について考えています。Γ(z) はガンマ関数として、
2π＾(n/2)/Γ(n/2)
というものが表面積を表している、というところまでは理解できたのですが、これが最大になるｎの求め方が分かりません。nに値をいれて実験してみると、n=7で最大となって、その後減少していくとは思うのですが、それを示す方法がわからないのです。微分するにしてもΓ関数の微分がよく理解できていないのかうまくいかず…。
ご回答よろしくお願いします。

回答No.1

oyaoya65 · ベストアンサー

＞2π^(n/2)/Γ(n/2)
先頭の2π^(n/2)のべき乗はπだけにかかっていると良いですか？

nは次元数で正の整数と思いますが
関数の増減や微分を考えるにはnを連続した実数変数と考える必要があります。
つまりガンマ関数Γ(x)も実数関数として扱い微分することになります。
nを実数と扱って
f(n)=2*π^(n/2)/Γ(n/2)
とおくと
f'(n)={π^(n/2)/Γ(n/2)}{logπ-ψ(n/2)}
ここでψ(x)はディガンマ関数でΓ(x)の対数微分
ψ(x)=Γ'(x)/Γ(x)
で定義される関数です。
f'(n)の関数は
0<n<7.25695...でf'(n)>0
n=7.25695... でf'(n)=0
n>7.25695... でf'(n)<0
n→0-でf'(n)→1
n→+∞でf'(n)→0
です。
f'(n)(n>0)の増減表を作ればf(n)がn=7.25695...で最大値（=33.16119...）をとることが分かります。

話を元に戻して
nを正整数とすれば、
f(n)は、n=7　または　n=8で最大になることになります。
f(7)とf(8)を比較すれがf(7)>f(8)となるから
n=7で最大値(≒33.0734）をとるということですね。

お礼

どうもありがとうございました！対数微分を自分では考えついていなかったようです。
実際に増減表を作ってみたいと思います。